VI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2007 год

Задача №1.  На доске написаны $2, 3, 5, \ldots, 2003$, то есть все простые числа интервала $[2; 2007]$. Операцией $\textit{упрощения}$ называется замена двух чисел $a,b$ на максимальное простое число, не превосходящее $\sqrt{a^2 - ab + b^2}$. Сначала школьник стирает число $q$, $2 < q < 2003$, потом применяет к оставшимся числам операцию упрощения до тех пор, пока не остается одно число. Найдите максимально возможное и минимально возможное значения числа, полученного в итоге. Как зависят эти значения от числа $q$? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---

Задача №2.  Пусть вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается стороны $BC$ в точке $K$. Проведем окружность, проходящую через точки $B$ и $C$, и касающуюся $\omega$ в точке $S$. Докажите, что прямая $SK$ проходит через центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

---

Задача №3.  Найдите максимальное значение вещественного числа $M$, при котором для любых положительных вещественных чисел $a,b,c$ выполняется неравенство $$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \ge M (|a-b|^3 + |b - c|^3 + |c - a|^3)$$ ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Множество многочленов $f_1, f_2, \ldots, f_n$ с вещественными коэффициентами называется \textit{особым}, если для любых различных $i,j,k \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ многочлен $\dfrac{2}{3}f_i + f_j + f_k$ не имеет вещественных корней, но для любых различных $p,q,r,s \in \{ 1,2, \ldots, n\}$ у многочлена $f_p + f_q + f_r + f_s$ существует вещественный корень.
1) Приведите пример особого множества из четырех многочленов, сумма которых не является нулевым многочленом.
2) Существует ли особое множество из пяти многочленов? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

---