7-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2007 жыл
Есеп №1. Тақтаға 2, 3, 5, …, 2003 сандары, яғни [2;2007] аралығындағы барлық жай сандар жазылған. Біз a,b сандарын √a2−ab+b2 санынан аспайтын жай санмен ауыстыруды сирету амалы деп атаймыз. Алдымен оқушы q санын өшіреді, мұнда 2<q<2003; сонан соң бір сан қалғанға шейін сирету амалын қалған сандарға бірнеше рет қолданады. Соңында шыққан санның ең үлкен мүмкін мәнін және ең кіші мүмкін мәнін тап. Бұл мәндер алғаш өшірілген q санына қалай тәуелді?
(
Е. Байсалов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. ABC үшбұрышына іштей сызылған ω шеңбері BC қабырғасын K нүктесінде жанайды. B мен C нүктелері арқылы өтетін және ω шеңберін S нүктесінде жанайтын шеңбер жүргізейік. SK түзуі ABC үшбұрышына сыртта іштей сызылған және BC қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелде.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. Кез келген оң нақты a,b,c сандары үшін
a3+b3+c3−3abc≥M(|a−b|3+|b−c|3+|c−a|3)
теңсіздігі орындалатындай нақты M санының ең үлкен мәнін тап.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Егер кез келген әртүрлі i,j,k∈{1,2,…,n} үшін 23fi+fj+fk көпмүшелігінің нақты түбірлері жоқ болып, ал кез келген әртүрлі p,q,r,s∈{1,2,…,n} үшін fp+fq+fr+fs көпмүшелігінің нақты түбірлері табылса, онда коэффициенттері нақты f1,f2,…,fn көпмүшеліктер жиынын ерекше дейміз.
1) Қосындысы нөлдік көпмүшелік болмайтын төрт көпмүшеліктен тұратын ерекше жиынға мысал келтір.
2) Бес көпмүшеліктен тұратын ерекше жиын табыла ма? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение
1) Қосындысы нөлдік көпмүшелік болмайтын төрт көпмүшеліктен тұратын ерекше жиынға мысал келтір.
2) Бес көпмүшеліктен тұратын ерекше жиын табыла ма? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение