7-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2007 жыл

Есеп №1. Тақтаға

$2$ ,

$3$ ,

$5$ ,

$\ldots$ ,

$2003$ сандары, яғни

${[2; 2007]}$ аралығындағы барлық жай сандар жазылған. Біз

$a,b$ сандарын

$\sqrt{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$ санынан аспайтын жай санмен ауыстыруды сирету амалы деп атаймыз. Алдымен оқушы

$q$ санын өшіреді, мұнда

$2 < q < 2003$ ; сонан соң бір сан қалғанға шейін сирету амалын қалған сандарға бірнеше рет қолданады. Соңында шыққан санның ең үлкен мүмкін мәнін және ең кіші мүмкін мәнін тап. Бұл мәндер алғаш өшірілген

$q$ санына қалай тәуелді? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған

$\omega$ шеңбері

$BC$ қабырғасын

$K$ нүктесінде жанайды.

$B$ мен

$C$ нүктелері арқылы өтетін және

$\omega$ шеңберін

$S$ нүктесінде жанайтын шеңбер жүргізейік.

$SK$ түзуі

$ABC$ үшбұрышына сыртта іштей сызылған және

$BC$ қабырғасын жанайтын шеңбердің центрі арқылы өтетінін дәлелде. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение

Есеп №3. Кез келген оң нақты

$a,b,c$ сандары үшін

${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc\ge M(|a-b{{|}^{3}}+|b-c{{|}^{3}}+|c-a{{|}^{3}})$ теңсіздігі орындалатындай нақты

$M$ санының ең үлкен мәнін тап. ( Д. Елиусизов )
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Егер кез келген әртүрлі

$i,j,k\in \{1,2,\ldots,n\}$ үшін

$\frac{2}{3}{{f}_{i}}+{{f}_{j}}+{{f}_{k}}$ көпмүшелігінің нақты түбірлері жоқ болып, ал кез келген әртүрлі

$p,q,r,s\in \{1,2,\ldots,n\}$ үшін

${{f}_{p}}+{{f}_{q}}+{{f}_{r}}+{{f}_{s}}$ көпмүшелігінің нақты түбірлері табылса, онда коэффициенттері нақты

${{f}_{1}},{{f}_{2}},\ldots,{{f}_{n}}$ көпмүшеліктер жиынын ерекше дейміз.
1) Қосындысы нөлдік көпмүшелік болмайтын төрт көпмүшеліктен тұратын ерекше жиынға мысал келтір.
2) Бес көпмүшеліктен тұратын ерекше жиын табыла ма? ( Е. Байсалов )
комментарий/решение

результаты