Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Разложите на множители: а)

$x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ ; б)

$x^{2003} + x+ 1$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Обозначим через

$p(n)$ произведение всех цифр натурального числа

$n$ . Вычислите

$p(1000) + p(1001) + \ldots + p(2003)$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Куб

$1 \times 1 \times 1$ полностью оклеили шестью квадратами общей площадью 6. Обязательно ли все эти квадраты равны?
комментарий/решение(1)

Задача №4. При каких натуральных

$n$ число

$2^n + 65$ является квадратом натурального числа?
комментарий/решение(3)

Задача №5. У ломаной

$ABCDE$ все вершины лежат на окружности. Углы

$ABC$ ,

$BCD$ и

$CDE$ равны по

$45^\circ$ . Докажите, что

$AB^2+CD^2=BC^2+DE^2$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. В левом нижнем углу шахматной доски

$6 \times 6$ стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали — вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски?
комментарий/решение(2)

Задача №7. Решить уравнение:

$\left [\dfrac{6x+5}{8}\right]=\dfrac{15x-7}{5}$ , где через

$[a]$ обозначена целая часть действительного числа

$a$ .
комментарий/решение(2)

Задача №8. Доказать неравенство:

$\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\geq \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}$ (

$x, y>0$ ).
комментарий/решение(1)

Задача №9. При каких значениях

$a$ ,

$b$ ,

$c$ парабола

$y = ax^2 + bx + c$ симметрична параболе

$y = 5x^2 + 4x + 3$ относительно точки

$P(2;1)$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №10. Медиана

$BK$ и биссектриса

$CL$ треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$P$ . Доказать равенство

$\frac{PC}{PL}-\frac{AC}{BC}=1$ .
комментарий/решение(1)