Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 9 класс

Медиана $BK$ и биссектриса $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Доказать равенство $\frac{PC}{PL}-\frac{AC}{BC}=1$.

Комментарий/решение

По теореме Ван - Обеля , $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{AL}{BL}$ , $X - AP \cap BC$ , тогда $\dfrac{PC}{PL}=\dfrac{ CX}{ BX} + 1 $ , то есть $\dfrac{CX}{BX} = \dfrac{AL}{BL}$ , что верно по теореме Чевы.

Заметим, что точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении 2:1. В равностороннем треугольнике AC/BC=1 биссектриса CL является медианой. Значит PC/PL=2. Следовательно PC/PL – AC/BC=2–1=1

По условию треугольник не обязательно равностороний

Из пропорциональных отрезков в треугольнике следует:

$CP/PL = CK/KA \cdot (1 + AL:BL) = 1 + AC/CB$, так как $CK = KA$ и $AL/LB = AC/CB$.