Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышының $BK$ медианасы және $CL$ биссектрисасы $P$ нүктесінде қиылысады. $\dfrac{PC}{PL}-\dfrac{AC}{BC}=1$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

По теореме Ван - Обеля , $\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{AL}{BL}$ , $X - AP \cap BC$ , тогда $\dfrac{PC}{PL}=\dfrac{ CX}{ BX} + 1$ , то есть $\dfrac{CX}{BX} = \dfrac{AL}{BL}$ , что верно по теореме Чевы.