қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған, центрі $I$ болатын шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше ${{C}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $M$ нүктесі ${{C}_{1}}{{B}_{1}}$ кесіндісін ${{C}_{1}}$-ден бастап өлшегенде $3:1$ қатынасында бөледі. $N$ нүктесі — $AC$ қабырғасының ортасы. Егер $AC=3\left( BC-AB \right)$ екені белгілі болса, $I,M,{{B}_{1}},N$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелде.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $n$ натурал саны берілген. Теңсіздікті дәлелде: $\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)}} < \frac{1}{96}$.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Өлшемі $m\times n$ болатын тақтаның кейбір шаршыларына дойбы тастары бір-бірден қойылған. Балақай тақтаны тор сызықтарының бойымен қиған кезде, ол екі тең бөлікке бөлінді және екі бөліктегі дойбы тастарының саны өзара тең болды. Карлсон дойбы тастарын орындарынан жылжытып, олардың тақтадағы қойылымын өзгертті (бірақ бұрынғыдай әр шаршыда көп дегенде бір дойбы тасы тұр). Балақай тағы да тақтаны үстіндегі дойбы тастарының саны тең болатындай етіп, екі тең бөлікке бөле алатындығын дәлелде.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Бөлгіштерінің арифметикалық және геометриялық орталары бір мезгілде бүтін сандар болатын шексіз көп натурал сандарының табылатынын дәлелде.
(
А. Васильев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №5. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбер $BC,AC,AB$ қабырғаларын сәйкесінше ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $A{{A}_{1}}$ кесіндісі іштей сызылған шеңбер мен ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісін сәйкесінше $Q$ мен $L$ нүктелерінде қиып өтеді. $M$ нүктесі — ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісінің ортасы. $BC$ және ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі — $L$-дан $AT$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны. ${{A}_{1}},M,Q,P$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде.
(
А. Баев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Кез келген оң нақты $x$ үшін $f(f(x))=\alpha f(x)-\beta x$ тепе-теңдігін қанағаттандыратын $f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$ функциясы табылатын барлық $\left( \alpha ,\beta \right)$ оң нақты сандар жұптарын анықта.
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)