Математикадан республикалық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. $ABCD$ төртбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ қабырғаларын сәйкесінше $K$, $L$, $M$, $N$ нүктелерінде жанайды. $P$, $Q$, $R$, $S$ нүктелері сәйкесінше $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ қабырғаларының орталары болсын. $PR=QS$ теңдігі $ABCD$ төртбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бар болуының қажетті және жеткілікті шарты екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Қандай ең кіші $n$ үшін $\left( n > 1 \right)$ мынадай ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}}$ натурал сандары табылатынын анықта ${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}} \right)}^{2}}-1$ саны $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}$ санына қалдықсыз бөлінеді. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Өлшемі $m\times n$ болатын тақтаның кейбір шаршыларына дойбы тастары бір-бірден қойылған. Балақай тақтаны тор сызықтарының бойымен қиған кезде, ол екі тең бөлікке бөлінді және екі бөліктегі дойбы тастарының саны өзара тең болды. Карлсон дойбы тастарын орындарынан жылжытып, олардың тақтадағы қойылымын өзгертті (бірақ бұрынғыдай әр шаршыда көп дегенде бір дойбы тасы тұр). Балақай тағы да тақтаны үстіндегі дойбы тастарының саны тең болатындай етіп, екі тең бөлікке бөле алатындығын дәлелде. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Өсу реті бойынша 1 мен цифрларының қосындысы 5-ке бөлінетін барлық натурал сандарды жазып, мынадай тізбек аламыз: 1, 5, 14, 19, $\ldots $. Осы тізбектің $n$-ші $5n$-нан кем екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылған шеңбер $BC$, $AC$, $AB$ қабырғаларын сәйкесінше ${{A}_{1}}$, ${{B}_{1}}$, ${{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды. $A{{A}_{1}}$ кесіндісі іштей сызылған шеңбер мен ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісін сәйкесінше $Q$ мен $L$ нүктелерінде қиып өтеді. $M$ нүктесі — ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ кесіндісінің ортасы. $BC$ және ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері $T$ нүктесінде қиылысады. $P$ нүктесі — $L$-дан $AT$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны. ${{A}_{1}}$, $M$, $Q$, $P$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде. ( А. Баев )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №6. Натурал $n$ саны берілген. ${{x}^{2}}-ax+2n=0$ квадраттық теңдеуінің бір түбірі $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{n}}$ санына тең болса, $2\sqrt{2n}\le a\le 3\sqrt{n}$ теңсіздігін дәлелде. ( А. Васильев )
комментарий/решение(1)

---