Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс
Выпишем в порядке возрастания число 1 и все натуральные числа, сумма цифр которых делится на 5. Получим последовательность 1, 5, 14, 19, ….
Докажите, что n-ый член последовательности меньше чем 5n.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Разобьём последовательность как (a3,a4)=(14,19), (a5,a6)=(23,28), (a7,a8)=(32,37),...(an−1,an)=(x,y)
1)
Докажем что между последовательными десятичными разрядами то есть 20,30,40... найдутся два числа сумма цифр которых кратно 5.
Так как разность последовательных чисел которые делятся на 5 равна 5 отсюда максимальная цифра на которую может оканчивается x равна 4 значит для второго максимальное 4+5=9 что подходит так как 9<10, откуда y=x+5
2) Тогда учитывая пункт 1 следует x≤n−22⋅10+4=5n−6<5n
и
y≤n−22⋅10+9=5n−1<5n
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.