Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Выпишем в порядке возрастания число 1 и все натуральные числа, сумма цифр которых делится на 5. Получим последовательность $1$, $5$, $14$, $19$, $\ldots$. Докажите, что $n$-ый член последовательности меньше чем $5n$.

Комментарий/решение

Разобьём последовательность как $(a_{3},a_{4})=(14,19), \ (a_{5},a_{6})=(23,28), \ (a_{7},a_{8})=(32,37) , ... (a_{n-1}, a_{n} ) = (x,y) $

1)

Докажем что между последовательными десятичными разрядами то есть $20,30,40...$ найдутся два числа сумма цифр которых кратно $5.$

Так как разность последовательных чисел которые делятся на $5$ равна $5$ отсюда максимальная цифра на которую может оканчивается $x$ равна $4$ значит для второго максимальное $4+5=9$ что подходит так как $9<10$, откуда $y=x+5$

2) Тогда учитывая пункт $1$ следует $x \leq \dfrac{n-2}{2} \cdot 10 + 4 = 5n-6 < 5n $

и

$y \leq \dfrac{n-2}{2} \cdot 10 + 9 = 5n-1 < 5n $