Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс


Выпишем в порядке возрастания число 1 и все натуральные числа, сумма цифр которых делится на 5. Получим последовательность 1, 5, 14, 19, . Докажите, что n-ый член последовательности меньше чем 5n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 7 месяца назад #

Разобьём последовательность как (a3,a4)=(14,19), (a5,a6)=(23,28), (a7,a8)=(32,37),...(an1,an)=(x,y)

1)

Докажем что между последовательными десятичными разрядами то есть 20,30,40... найдутся два числа сумма цифр которых кратно 5.

Так как разность последовательных чисел которые делятся на 5 равна 5 отсюда максимальная цифра на которую может оканчивается x равна 4 значит для второго максимальное 4+5=9 что подходит так как 9<10, откуда y=x+5

2) Тогда учитывая пункт 1 следует xn2210+4=5n6<5n

и

yn2210+9=5n1<5n