Республиканская олимпиада по математике, 2011 год, 9 класс

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. $A_1$, $B_1$, $C_1$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $AC$, $AB$. $Q$ и $L$ — точки пересечения отрезка $AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком $B_1C_1$ соответственно. $M$ — середина отрезка $B_1C_1$. $T$ — точка пересечения прямых $BC$ и $B_1C_1.$ $P$ — основание перпендикуляра из точки $L$ на прямую $AT$. Докажите, что точки $A_1$, $M$, $Q$, $P$ лежат на одной окружности. ( А. Баев )

Комментарий/решение

Пусть $I$ - центр $ω$ вписанной окружности $\triangle ABC$. Легко понять, что точки $A,M,I$ - лежат на одной прямой и $AI\bot B_1C_1$.

Заметим, что $A_1B_1QC_1$ - гармонический, т.к. касательные в точках $B_1$ и $C_1$ и $QA_1$ пересекаются в одной точке. Откуда $TQ$ касается $ω$.

Заметим, что $L$ - лежит на поляре точек $A$ и $T$ относительно $ω$, откуда $AT$ - поляра точки $L$ относительно $ω$, следовательно $IL\bot AT$, откуда $P\in IL$.

Заметим, что точки $A_1,P,M$ лежат на окружности с диаметром $TI$, а так же из того, что $TQ$ касается $ω$, то $Q$ лежит на окружности с диаметром $TI$ откуда следует требуемое.

Заметим что $QA_1B_1C_1$ гармонический четырехугольник а так как касательная из точки $A_1$ пересекает $B_1C_1$ в точке $T$ тогда $TQ$ тоже касательная.Так как $QL$ семидиана а $QM$ медиана треугольника $QC_1B_1$ значит $\angle B_1QL=\angle MQC_1$ и по касательной $\angle TQB_1=\angle QC_1T$ значит $TQ$ касается треугольника $QLM$ отсюда $\angle TQL=\angle TA_1Q=\angle QMT$ значит $A_1TQM$ вписаный. Докажем что $A_1QPT$ вписаный.

$\angle LPA=\angle LMA=90$ отсюда следует что $APLM$ вписаный и по степени точки $TL*TM=TQ^2=TP*TA$ значит $\angle TQP=\angle TAQ$ их этого всего следует что $\angle TQL+\angle TQP=\angle TA_1A+\angle TAA_1=180-\angle A_1TA$ значит $A_1QPT$ вписаный.