Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Кез келген екеуінің салмақ айырмашылығы үш еседен көп емес болатын 300 алма бар. Кез келген екі қорап салмақ айырмашылығы

$1,\!5$ еседен көп болмайтындай, осы алмаларды алмаларды төрт алмадан 75 қорапқа салуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$R$ нүктесі

$AB$ сәулесінен

$B$ -дан әрі қарай

$BR=BC$ болатындай алынған, ал

$S$ нүктесі

$AC$ сәулесінен

$C$ -дан әрі қарай

$CS=CB$ болатындай алынған.

$BRSC$ төртбұрышының диагональдары

$A'$ нүктесінде қиылысады. Дәл сол сияқты

$B'$ және

$C'$ нүктелерін анықтайық.

$AC'BA'CB'$ алтыбұрышының ауданы

$ABC$ және

$A'B'C'$ үшбұрыштарының аудандар қосындысына тең екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$(p-1)!+1=p^m$ теңдеуі дұрыс болатындай қандай-да бір натурал

$m$ табылатындай барлық жай

$p$ санын тап.
комментарий/решение(6)

Есеп №4. Кез келген

$0 < a, b, c\leq 1$ сандары үшін

$\frac{1}{{a + b + c}} \geq \frac{1}{3} + \alpha \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)$ теңсіздігі орындалса, онда

$\alpha$ санының

$(\alpha > 0)$ ең үлкен мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі

$I$ ,

$BP$

$ABC$ бұрышының биссектрисасы,

$P$ нүктесі

$AC$ қабырғасында жатыр. Егер

$AP+AB=CB$ теңдігі орындалса,

$API$ — теңбүйірлі үшбұрыш болатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$a$ және

$d$ — натурал сандар. Кез келген

$a$ ,

$a+d$ ,

$a+2d$ ,

$\ldots$ шексіз арифметикалық прогрессияда

$b$ ,

$bq$ ,

$b{{q}^{2}}$ ,

$\ldots$ шексіз геометриялық прогрессия құратын сандар табылатынын дәлелде, мүндағы

$b$ және

$q$ — натурал сандар.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Кез келген натурал

$n$ үшін,

$\left\{ n\sqrt{7} \right\} > \dfrac{3\sqrt{7}}{14n}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде, мұндағы

$\left\{ x \right\}$ —

$x$ санының бөлшек бөлігі.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$100\times 100$ тақтаның әрбір клеткасы 100 түстің біреуімен боялған да, бірдей түспен боялған тура 100 клеткадан. шыққан. 10-нан кем емес әртүрлі түске боялған клеткалары бар жолдың не бағанның бар екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)