қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Кез келген екеуінің салмақ айырмашылығы үш еседен көп емес болатын 300 алма бар. Кез келген екі қорап салмақ айырмашылығы $1,\!5$ еседен көп болмайтындай, осы алмаларды алмаларды төрт алмадан 75 қорапқа салуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышы берілген. $R$ нүктесі $AB$ сәулесінен $B$-дан әрі қарай $BR=BC$ болатындай алынған, ал $S$ нүктесі $AC$ сәулесінен $C$-дан әрі қарай $CS=CB$ болатындай алынған. $BRSC$ төртбұрышының диагональдары $A'$ нүктесінде қиылысады. Дәл сол сияқты $B'$ және $C'$ нүктелерін анықтайық. $AC'BA'CB'$ алтыбұрышының ауданы $ABC$ және $A'B'C'$ үшбұрыштарының аудандар қосындысына тең екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $(p-1)!+1=p^m$ теңдеуі дұрыс болатындай
қандай-да бір натурал $m$ табылатындай барлық жай $p$ санын тап.
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Есеп №4. Кез келген $0 < a, b, c\leq 1$ сандары үшін
$\frac{1}{{a + b + c}} \geq \frac{1}{3} + \alpha \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)$ теңсіздігі орындалса, онда $\alpha$ санының $(\alpha > 0)$ ең үлкен мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $I$, $BP$ $ABC$ бұрышының биссектрисасы, $P$ нүктесі $AC$ қабырғасында жатыр. Егер $AP+AB=CB$ теңдігі орындалса, $API$ — теңбүйірлі үшбұрыш болатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $a$ және $d$ — натурал сандар. Кез келген $a$, $a+d$ , $a+2d$, $\ldots $ шексіз арифметикалық прогрессияда $b$, $bq$ , $b{{q}^{2}}$, $\ldots $ шексіз геометриялық прогрессия құратын сандар табылатынын дәлелде, мүндағы $b$ және $q$ — натурал сандар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Кез келген натурал $n$ үшін, $\left\{ n\sqrt{7} \right\} > \dfrac{3\sqrt{7}}{14n}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде, мұндағы $\left\{ x \right\}$ — $x$ санының бөлшек бөлігі.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $100\times 100$ тақтаның әрбір клеткасы 100 түстің біреуімен боялған да, бірдей түспен боялған тура 100 клеткадан. шыққан. 10-нан кем емес әртүрлі түске боялған клеткалары бар жолдың не бағанның бар екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)