Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс


Пусть I — центр вписанной в треугольник ABC окружности, BP — биссектриса угла ABC, P лежит на AC. Докажите, что если AP+AB=CB, то треугольник API — равнобедренный.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   4
6 года 2 месяца назад #

Отложим на продолжении стороны AB точку P такую что AP=AP тогда PP||AI так как BP=BC (из построения) то PP=CP значит PPE=CPE но из-за параллельности PPE=AIP=CPE то есть API равнобедренный.

  1
3 года 11 месяца назад #

точка D - симметрична A относительно BP. Так как BP биссектриса D лежит на стороне BC. AP=CBAB значит AP=DC=PD. ABP=DBP из за признаков равенства треугольников. ACB=DPC=2α тогда APB=BPD=90α. ABP=β. BAC=1802α2β, значит BAI=90αβ. Тогда AIP=90α. AI=AP