Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Пусть $I$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, $BP$ — биссектриса угла $\angle ABC$, $P$ лежит на $AC$. Докажите, что если $AP+AB=CB$, то треугольник $API$ — равнобедренный.

Комментарий/решение

Отложим на продолжении стороны $AB$ точку $P'$ такую что $AP'=AP$ тогда $PP' || AI$ так как $BP' = BC$ (из построения) то $PP' = CP$ значит $\angle P'PE = \angle CPE$ но из-за параллельности $\angle P'PE = \angle AIP = \angle CPE$ то есть $API$ равнобедренный.

точка $D$ - симметрична $A$ относительно $BP.$ Так как $BP$ биссектриса $D$ лежит на стороне $BC.$ $AP = CB - AB$ значит $AP = DC = PD$. $\triangle ABP = \triangle DBP$ из за признаков равенства треугольников. $\angle ACB = \angle DPC = 2 \alpha$ тогда $\angle APB = \angle BPD = 90 - \alpha$. $\angle ABP = \beta$. $\angle BAC = 180 - 2\alpha - 2\beta$, значит $\angle BAI = 90 - \alpha - \beta$. Тогда $\angle AIP = 90 - \alpha.$ $$AI = AP$$