Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Задача №1. Имеется 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Дан треугольник

$ABC$ . Точка

$R$ выбрана на продолжении стороны

$AB$ за точку

$B$ так, что

$BR=BC$ , а точка

$S$ выбрана на продолжении стороны

$AC$ за точку

$C$ так, что

$CS=CB$ . Диагонали четырехугольника

$BRSC$ пересекаются в точке

$A'$ . Аналогично определяются точки

$B'$ и

$C'$ . Докажите, что площадь шестиугольника

$AC'BA'CB'$ равна сумме площадей треугольников

$ABC$ и

$A'B'C'$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все простые

$p$ , для которых существует такое натуральное

$m$ , что справедливо равенство

$(p-1)!+1=p^m$ .
комментарий/решение(6)

Задача №4. Найдите наибольшее возможное

$\alpha > 0$ , такое, что для любых

$a, b, c$ с условием

$0 < a, b, c\leq 1$ выполняется неравенство

$\frac{1} {{a + b + c}} \geq \frac{1} {3} + \alpha \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right).$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Пусть

$I$ — центр вписанной в треугольник

$ABC$ окружности,

$BP$ — биссектриса угла

$\angle ABC$ ,

$P$ лежит на

$AC$ . Докажите, что если

$AP+AB=CB$ , то треугольник

$API$ — равнобедренный.
комментарий/решение(2)

Задача №6. Докажите, что любая бесконечная арифметическая прогрессия

$a, a+d, a+2d, \ldots$ , где

$a$ и

$d$ — натуральные, содержит в качестве подпоследовательности бесконечную геометрическую прогрессию

$b, bq, bq^2$ ,

$\ldots$ , где

$b$ и

$q$ — натуральные.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Докажите, что для любого натурального

$n$ выполняется неравенство

$\left\{ {n\sqrt 7 } \right\} > \frac{{3\sqrt 7 }}{{14n}}$ , где

$\left\{ x \right\}$ означает дробную часть числа

$x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Каждая клетка доски

$100\times 100$ покрашена в один из 100 цветов так, что имеется ровно 100 клеток каждого цвета. Докажите, что существует строка или столбец, в котором встречаются клетки не менее 10 различных цветов.
комментарий/решение(1)