Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып
Кез келген натурал n үшін, {n√7}>3√714n теңсіздігі орындалатынын дәлелде, мұндағы {x} — x санының бөлшек бөлігі.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Сначала рассмотрим какие остатки может давать x2,x∈N при делении на 7. Это 0,1,2,4. Тогда будет верна следующая цепочка неравенств: {n√7}=n√7−[n√7]=7n2−[n√7]2n√7+[n√7]≥3n√7+[n√7]>32n√7 Это верно, так как 7n2 не может быть полным квадратом и [n√7]2 наибольший полный квадрат меньший 7n2. Так как [n√7]2≡0,1,2,4(mod7) то учитывая, что 7n2≡0(mod7) получаем, что 7n2−[n√7]2≥3. Остается заметить что, 32n√7=3√714n, откуда и следует требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.