Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып


Кез келген натурал n үшін, {n7}>3714n теңсіздігі орындалатынын дәлелде, мұндағы {x}x санының бөлшек бөлігі.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года назад #

Сначала рассмотрим какие остатки может давать x2,xN при делении на 7. Это 0,1,2,4. Тогда будет верна следующая цепочка неравенств: {n7}=n7[n7]=7n2[n7]2n7+[n7]3n7+[n7]>32n7 Это верно, так как 7n2 не может быть полным квадратом и [n7]2 наибольший полный квадрат меньший 7n2. Так как [n7]20,1,2,4(mod7) то учитывая, что 7n20(mod7) получаем, что 7n2[n7]23. Остается заметить что, 32n7=3714n, откуда и следует требуемое.