Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Докажите, что для любого натурального $n$ выполняется неравенство $\left\{ {n\sqrt 7 } \right\} > \frac{{3\sqrt 7 }}{{14n}}$, где $\left\{ x \right\}$ означает дробную часть числа $x$.

Комментарий/решение

Сначала рассмотрим какие остатки может давать $x^2, x \in N$ при делении на 7. Это $0,1,2,4$. Тогда будет верна следующая цепочка неравенств: $$\left\{ n \sqrt{7} \right\} = n\sqrt{7} - [n\sqrt{7}] = \frac{7n^2 - [n\sqrt{7}]^2}{n\sqrt{7} + [n\sqrt{7}]} \geq \frac{3}{n\sqrt{7} + [n\sqrt{7}]} > \frac{3}{2n\sqrt{7}}$$ Это верно, так как $7n^2$ не может быть полным квадратом и $[n\sqrt{7}]^2$ наибольший полный квадрат меньший $7n^2$. Так как $[n\sqrt{7}]^2 \equiv 0,1,2,4 \pmod {7}$ то учитывая, что $7n^2 \equiv 0 \pmod {7}$ получаем, что $7n^2 - [n\sqrt{7}]^2 \geq 3$. Остается заметить что, $\frac{3}{2n\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{14n}$, откуда и следует требуемое.