Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

Кез келген натурал $n$ үшін, $\left\{ n\sqrt{7} \right\} > \dfrac{3\sqrt{7}}{14n}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелде, мұндағы $\left\{ x \right\}$ — $x$ санының бөлшек бөлігі.

Комментарий/решение

Сначала рассмотрим какие остатки может давать $x^2, x \in N$ при делении на 7. Это $0,1,2,4$. Тогда будет верна следующая цепочка неравенств: $$ \left\{ n \sqrt{7} \right\} = n\sqrt{7} - [n\sqrt{7}] = \frac{7n^2 - [n\sqrt{7}]^2}{n\sqrt{7} + [n\sqrt{7}]} \geq \frac{3}{n\sqrt{7} + [n\sqrt{7}]} > \frac{3}{2n\sqrt{7}}$$ Это верно, так как $7n^2$ не может быть полным квадратом и $[n\sqrt{7}]^2$ наибольший полный квадрат меньший $7n^2$. Так как $[n\sqrt{7}]^2 \equiv 0,1,2,4 \pmod {7}$ то учитывая, что $7n^2 \equiv 0 \pmod {7}$ получаем, что $7n^2 - [n\sqrt{7}]^2 \geq 3$. Остается заметить что, $\frac{3}{2n\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{14n}$, откуда и следует требуемое.