Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс


Докажите, что любая бесконечная арифметическая прогрессия a,a+d,a+2d,, где a и d — натуральные, содержит в качестве подпоследовательности бесконечную геометрическую прогрессию b,bq,bq2, , где b и q — натуральные.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 1 месяца назад #

Среди этой арифметической прогрессии обязательно найдется (а-1)-ый элемент a+ad. Этот элемент также будет являться элементом геометрической прогрессии.(a+ad = a(d+1) = S. Умножаем S на d+1, и получаем следующий элемент геометрической прогрессии

(ad2+2ad+a). Нетрудно заметить что она также является элементом арифметической прогресии

ad2+2ad+a = a+d(ad+2a) = a+dk. Умножая этот элемент еще на d+1, мы получаем число которое также будет являться элементом арифметической прогресии. (a+dk)(d+1) = ad+a+d2k+dk = a+d(a+dk+k) = a+dn. Таким образом мы докозали что, поочередно умножая a на d+1 мы получаем элемент который будет являться одновременно и арифметической и геометрической прогрессией. Следовательно все эти элементы мы сможем найти внутри арифметической прогрессии a, (a+d), (a+2d)........(a+nd).