Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

$a$ және $d$ — натурал сандар. Кез келген $a$, $a+d$ , $a+2d$, $\ldots$ шексіз арифметикалық прогрессияда $b$, $bq$ , $b{{q}^{2}}$, $\ldots$ шексіз геометриялық прогрессия құратын сандар табылатынын дәлелде, мүндағы $b$ және $q$ — натурал сандар.

Комментарий/решение

Среди этой арифметической прогрессии обязательно найдется (а-1)-ый элемент $a$+$ad$. Этот элемент также будет являться элементом геометрической прогрессии.($a$+$ad$ = $a$($d+1$) = $S$. Умножаем $S$ на $d+1$, и получаем следующий элемент геометрической прогрессии

($ad^2+2ad+a$). Нетрудно заметить что она также является элементом арифметической прогресии

$ad^2+2ad+a$ = $a+d(ad+2a)$ = $a+dk$. Умножая этот элемент еще на $d+1$, мы получаем число которое также будет являться элементом арифметической прогресии. $(a+dk)$ • $(d+1)$ = $ad+a+d^2k+dk$ = $a+d(a+dk+k)$ = $a+dn$. Таким образом мы докозали что, поочередно умножая $a$ на $d+1$ мы получаем элемент который будет являться одновременно и арифметической и геометрической прогрессией. Следовательно все эти элементы мы сможем найти внутри арифметической прогрессии $a$, $(a+d)$, $(a+2d)$........$(a+nd)$.