Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Докажите, что любая бесконечная арифметическая прогрессия $a, a+d, a+2d, \ldots$, где $a$ и $d$ — натуральные, содержит в качестве подпоследовательности бесконечную геометрическую прогрессию $b, bq, bq^2$, $\ldots$, где $b$ и $q$ — натуральные.

Комментарий/решение

Среди этой арифметической прогрессии обязательно найдется (а-1)-ый элемент $a$+$ad$. Этот элемент также будет являться элементом геометрической прогрессии.($a$+$ad$ = $a$($d+1$) = $S$. Умножаем $S$ на $d+1$, и получаем следующий элемент геометрической прогрессии

($ad^2+2ad+a$). Нетрудно заметить что она также является элементом арифметической прогресии

$ad^2+2ad+a$ = $a+d(ad+2a)$ = $a+dk$. Умножая этот элемент еще на $d+1$, мы получаем число которое также будет являться элементом арифметической прогресии. $(a+dk)$ • $(d+1)$ = $ad+a+d^2k+dk$ = $a+d(a+dk+k)$ = $a+dn$. Таким образом мы докозали что, поочередно умножая $a$ на $d+1$ мы получаем элемент который будет являться одновременно и арифметической и геометрической прогрессией. Следовательно все эти элементы мы сможем найти внутри арифметической прогрессии $a$, $(a+d)$, $(a+2d)$........$(a+nd)$.