Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Найдите наибольшее возможное $\alpha > 0$, такое, что для любых $a, b, c$ с условием $0 < a, b, c\leq 1$ выполняется неравенство $$ \frac{1} {{a + b + c}} \geq \frac{1} {3} + \alpha \left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right). $$

Комментарий/решение

Для начала заметим, что если одно из чисел a,b,c равно 1, то неравенство верно при всех a,b,c <=1.

Теперь будем считать что ни одно число не равно1.

Если подставить a=b=c=1/3, то получим что a<=9/4. Тогда максимум а равен 9/4.

Теперь докажем неравенство 1/(а+b+c)>1/3+9/4П(1-а)

Пусть 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z, тогда 0<x,y,z<1

Неравенство примет следущий вид:

1/(3-x-y-z)>1/3+9/4xyz

<=> (x+y+z)(4+27xyz)>81xyz

Теперь пусть x+y+z=А, xyz=В.

По неравенству Коши А^3>27В.

Неравенство примет следуший вид:

4А+27АВ>81В

Домножив на А^2 получим:

4А^3+27А^3В>81А^2В

<=>81В+А^3В>81А^2В

<=>4+А^3>3А^2

<=>4+1/2А^3+1^2А^3>3А^2

Последнее неравенство верно по неравенству Коши для 3х чисел.

Неравенство доказано.

Ответ: 9/4