Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс


Найдите все простые p, для которых существует такое натуральное m, что справедливо равенство (p1)!+1=pm.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
5 года 10 месяца назад #

Ответ:p=2,3,5.

Докажем что при p7 решений нет. От противного. Тогда (p2)!=pm1p1=pm1+pm2+...+1m(mod(p1)).

Так как p нечётна,тогда p1=2k, где k натуральное число и меньше p2. И (p2)! делится на p1. Тогда (p2)!m0(mod(p1)). И m=k(p1). Тогда pm=pk(p1)pp1>(p1)p1+1>(p1)!+1 Противоречие.

Тогда p<7. При p=5 m=2, при p=3 m=1, при p=2 m=1.

  0
2 года 3 месяца назад #

о я так же решил)

  1
2 года 3 месяца назад #

а можно было просто написать тогда на респе типо по теореме луивилля р>5 не имеет решений и просто показать пример для 2 3 5

  1
2 года 3 месяца назад #

нет, теорема луивилля не входит в школьную программу

  0
2 года 3 месяца назад #

АХХААХА

  1
2 года 3 месяца назад #

Но в книге Кунгожина М. Про областную олимпиаду На первых страницах с теоремами упоминается теорема луивилля