Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс
Найдите все простые p, для которых существует такое натуральное m, что справедливо равенство (p−1)!+1=pm.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:p=2,3,5.
Докажем что при p≥7 решений нет. От противного. Тогда (p−2)!=pm−1p−1=pm−1+pm−2+...+1≡m(mod(p−1)).
Так как p нечётна,тогда p−1=2k, где k натуральное число и меньше p−2. И (p−2)! делится на p−1. Тогда (p−2)!≡m≡0(mod(p−1)). И m=k(p−1). Тогда pm=pk(p−1)≥pp−1>(p−1)p−1+1>(p−1)!+1 Противоречие.
Тогда p<7. При p=5 m=2, при p=3 m=1, при p=2 m=1.
а можно было просто написать тогда на респе типо по теореме луивилля р>5 не имеет решений и просто показать пример для 2 3 5
Но в книге Кунгожина М. Про областную олимпиаду На первых страницах с теоремами упоминается теорема луивилля
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.