Республиканская олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Дан треугольник $ABC$. Точка $R$ выбрана на продолжении стороны $AB$ за точку $B$ так, что $BR=BC$, а точка $S$ выбрана на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ так, что $CS=CB$. Диагонали четырехугольника $BRSC$ пересекаются в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$. Докажите, что площадь шестиугольника $AC'BA'CB'$ равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $A'B'C'$.

Комментарий/решение

Площадь треугольника ABC = S

Отметим точку I - инцентр

Отсюда следует что A'BCI -  параллелограмм, так как угол IBC = 1/2 ABC=BCA' и угол ICB=1/2 ACB=CBA'. Значит треугольник BIC=BA'C. Аналогично B'ACI,C'BCI - параллелограммы и диагональ делит параллелограмм пополам на 2 треугольника.

Площадь шестиугольника A'BC'AB'C=S+S(AB'C)+S(BA'C)+S(AC'B)= 2S

Теперь докажем что площадь треугольника A'B'C' = S. Отметим середины сторон  AB,BC,AC: M1,M2,M3. Отсюда следует что площадь M1M2M3  равна S/4 (легко доказывается с помощью формулы площади через синус угла ). С другой стороны, М1,M2,M3 также лежат на серединах IC',IA',IB'( точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам). Треугольники M1M2M3 и A'B'C' гомотетичные коэффициентом в 2, значит площадь треугольника A'B'C' в 4 раза больше M1M2M3. S(A'B'C')= 4*S/4=S.

S(A'B'C')+S=2S.