Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Задача №1. При каких нижеперечисленных значениях

$A$ ,

$B$ ,

$C$ система уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t) = A, \\ (y - z)(t - x) = B,\\ (x - z)(y - t) = C,\\ \end{array} \right.$ имеет решение в вещественных числах, и при каких нет?
а)

$A=1$ ,

$B=2$ ,

$C=3$ ; б)

$A=3$ ,

$B=2$ ,

$C=1$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найти минимальное целое число

$k$ , обладающее следующим свойством: в любом множестве из

$k$ различных десятичных цифр существуют два элемента, что составленное ими двузначное число делится на квадрат целого числа, большего 1.
комментарий/решение

Задача №3. Пусть

$M$ — точка пересечения отрезков

$AL$ и

$CK$ , где точки

$K$ и

$L$ лежат соответственно на сторонах

$AB$ и

$BC$ треугольника

$ABC$ так, что четырехугольники

$AKLC$ и

$KBLM$ — вписанные. Найдите угол

$\angle ABC$ , если радиусы окружностей, описанных около указанных четырехугольников, равны.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Найдите все натуральные числа

$n$ такие, что

$8^n -1$ делит

$80^n -1$ без остатка.
комментарий/решение(1)

Задача №5. На стороне

$CD$ трапеции

$ABCD$ (

$BC \parallel AD$ ) отмечена точка

$K$ так, что треугольник

$ABK$ — равносторонний. Докажите, что на прямой

$AB$ существует такая точка

$L$ , что треугольник

$CDL$ также равносторонний.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющих свойству: произведение любых двух чисел при делении на третье число дает остаток 1.
комментарий/решение

Задача №7. Найдите целую часть числа

$\dfrac{{2^1 }} {{1!}} + \dfrac{{2^2 }} {{2!}} + \dfrac{{2^3 }} {{3!}} + \ldots + \dfrac{{2^{100} }} {{100!}}.$
комментарий/решение(1)

Задача №8. На окружности радиуса 1 отмечены

$n$ точек. Докажите, что существует не более

$\frac{n^2}{3}$ различных отрезков, длины которых больше

$\sqrt2$ , с концами в этих точках.
комментарий/решение