қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Төменде көрсетілген $A,B,C$ сандарының қандай мәндері үшін
\[\left\{ \begin{array}{l}
(x - y)(z - t) = A,\\
(y - z)(t - x) = B,\\
(x - z)(y - t) = C,
\end{array} \right.\]
теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a) $A=1,\text{ }B=2,\text{ }C=3$; b) $A=3,\text{ }B=2,\text{ }C=1$.
комментарий/решение
a) $A=1,\text{ }B=2,\text{ }C=3$; b) $A=3,\text{ }B=2,\text{ }C=1$.
комментарий/решение
Есеп №2. Мына шартты қанағаттандыратын ең кіші $k$ бүтін санын табыңыз: әртүрлі $k$ ондық цифрлардан тұратын кез келген жиыннан 1-ден үлкен санның квадратына бөлінетін екі орынды сан құрайтын екі элемент табылады.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышының $AB$ және $BC$ қабырғаларынан сәйкесінше $K$ және $L$ нүктелері алынған, ал $M$ — $AL$ және $CK$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер $AKLC$ және $KBLM$ төртбұрыштарына радиустары тең, сырттай шеңберлер сызылғандығы белгілі болса, $\angle ABC$ бұрышының мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. ${{8}^{n}}-1$ саны ${{80}^{n}}-1$ санын қалдықсыз бөлетіндей барлық $n$ натурал санын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABCD$ трапециясының ($BC\parallel AD$) $CD$ қабырғасынан $ABK$ үшбұрышы теңқабырғалы болатындай етіп $K$ нүктесі белгіленген. Онда $AB$ түзуінен $CDL$ үшбұрышы да теңқабырғалы болатындай $L$ нүктесі табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Мына шартты қанағаттандыратын барлық натурал сандар үштіктерін табыңдар: олардың кез келген екеуінің көбейтіндісін үшіншісіне бөлгенде 1 қалдық береді.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Келесі санның бүтін бөлігін табыңыз: $\dfrac{{{2}^{1}}}{1!}+\dfrac{{{2}^{2}}}{2!}+\ldots +\dfrac{{{2}^{100}}}{100!}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Радиусы 1-ге тең шеңберде $n$ нүкте белгіленген. Ұштары осы нүктелерде жататын, ұзындықтары $\sqrt{2}$-ден үлкен әртүрлі кесінділердің саны ${{n}^{2}}/3$-тен аспайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение