Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. Төменде көрсетілген

$A,B,C$ сандарының қандай мәндері үшін

$\left\{ \begin{array}{l} (x - y)(z - t) = A,\\ (y - z)(t - x) = B,\\ (x - z)(y - t) = C, \end{array} \right.$ теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a)

$A=1,\text{ }B=2,\text{ }C=3$ ; b)

$A=3,\text{ }B=2,\text{ }C=1$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Мына шартты қанағаттандыратын ең кіші

$k$ бүтін санын табыңыз: әртүрлі

$k$ ондық цифрлардан тұратын кез келген жиыннан 1-ден үлкен санның квадратына бөлінетін екі орынды сан құрайтын екі элемент табылады.
комментарий/решение

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$AB$ және

$BC$ қабырғаларынан сәйкесінше

$K$ және

$L$ нүктелері алынған, ал

$M$ —

$AL$ және

$CK$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. Егер

$AKLC$ және

$KBLM$ төртбұрыштарына радиустары тең, сырттай шеңберлер сызылғандығы белгілі болса,

$\angle ABC$ бұрышының мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

${{8}^{n}}-1$ саны

${{80}^{n}}-1$ санын қалдықсыз бөлетіндей барлық

$n$ натурал санын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABCD$ трапециясының (

$BC\parallel AD$ )

$CD$ қабырғасынан

$ABK$ үшбұрышы теңқабырғалы болатындай етіп

$K$ нүктесі белгіленген. Онда

$AB$ түзуінен

$CDL$ үшбұрышы да теңқабырғалы болатындай

$L$ нүктесі табылатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Мына шартты қанағаттандыратын барлық натурал сандар үштіктерін табыңдар: олардың кез келген екеуінің көбейтіндісін үшіншісіне бөлгенде 1 қалдық береді.
комментарий/решение

Есеп №7. Келесі санның бүтін бөлігін табыңыз:

$\dfrac{{{2}^{1}}}{1!}+\dfrac{{{2}^{2}}}{2!}+\ldots +\dfrac{{{2}^{100}}}{100!}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Радиусы 1-ге тең шеңберде

$n$ нүкте белгіленген. Ұштары осы нүктелерде жататын, ұзындықтары

$\sqrt{2}$ -ден үлкен әртүрлі кесінділердің саны

${{n}^{2}}/3$ -тен аспайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение