Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

На стороне $CD$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) отмечена точка $K$ так, что треугольник $ABK$ — равносторонний. Докажите, что на прямой $AB$ существует такая точка $L$, что треугольник $CDL$ также равносторонний.

Комментарий/решение

С точки $C$ проведем линию $CN$ на $AB$ так что $\angle NCD = 60^{\circ}.$ Значит $NBCK$ вписанный. Пусть $\angle CNK = \angle CBK = \alpha,$ а $\angle BCN = \angle BLN = \beta.$ Выходит что $\angle BNK = 120^{\circ} - \beta,$ так как $\angle BCK = 60^{\circ} + \beta,$ отсюда следует что $\angle ANK = 60^{\circ} + \beta,$ а $\angle ADK = 120^{\circ} - \beta$ потому что $BC||AD$. Значит $ANKD$ - вписанный. $\angle NAK = 60^{\circ}$ значит $\angle CDN = 60^{\circ}.$ Следовательно $CND$ - равносторонний.