Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып

$ABCD$ трапециясының ($BC\parallel AD$) $CD$ қабырғасынан $ABK$ үшбұрышы теңқабырғалы болатындай етіп $K$ нүктесі белгіленген. Онда $AB$ түзуінен $CDL$ үшбұрышы да теңқабырғалы болатындай $L$ нүктесі табылатынын дәлелде.

Комментарий/решение

С точки $C$ проведем линию $CN$ на $AB$ так что $\angle NCD = 60^{\circ}.$ Значит $NBCK$ вписанный. Пусть $\angle CNK = \angle CBK = \alpha,$ а $\angle BCN = \angle BLN = \beta.$ Выходит что $\angle BNK = 120^{\circ} - \beta,$ так как $\angle BCK = 60^{\circ} + \beta,$ отсюда следует что $\angle ANK = 60^{\circ} + \beta,$ а $\angle ADK = 120^{\circ} - \beta$ потому что $BC||AD$. Значит $ANKD$ - вписанный. $\angle NAK = 60^{\circ}$ значит $\angle CDN = 60^{\circ}.$ Следовательно $CND$ - равносторонний.