Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Задача №1. При каких нижеперечисленных значениях $A$, $B$, $C$ система уравнений $$ \left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t) = A, \\ (y - z)(t - x) = B,\\ (x - z)(y - t) = C,\\ \end{array} \right. $$ имеет решение в вещественных числах, и при каких нет?
а) $A=1$, $B=2$, $C=3$; б) $A=3$, $B=2$, $C=1$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. Найти минимальное целое число $k$, обладающее следующим свойством: в любом множестве из $k$ различных десятичных цифр существуют два элемента, что составленное ими двузначное число делится на квадрат целого числа, большего 1.
комментарий/решение

---

Задача №3. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AL$ и $CK$, где точки $K$ и $L$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ так, что четырехугольники $AKLC$ и $KBLM$ — вписанные. Найдите угол $\angle ABC$, если радиусы окружностей, описанных около указанных четырехугольников, равны.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Найдите все натуральные числа $n$ такие, что $8^n -1$ делит $80^n -1$ без остатка.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5. На стороне $CD$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) отмечена точка $K$ так, что треугольник $ABK$ — равносторонний. Докажите, что на прямой $AB$ существует такая точка $L$, что треугольник $CDL$ также равносторонний.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6. Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющих свойству: произведение любых двух чисел при делении на третье число дает остаток 1.
комментарий/решение

---

Задача №7.  Найдите целую часть числа $\dfrac{{2^1 }} {{1!}} + \dfrac{{2^2 }} {{2!}} + \dfrac{{2^3 }} {{3!}} + \ldots + \dfrac{{2^{100} }} {{100!}}.$
комментарий/решение(1)

---

Задача №8.  На окружности радиуса 1 отмечены $n$ точек. Докажите, что существует не более $\frac{n^2}{3}$ различных отрезков, длины которых больше $\sqrt2$, с концами в этих точках.
комментарий/решение

---