Республиканская олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс
Задача №1. При каких нижеперечисленных значениях $A$, $B$, $C$ система уравнений $$
\left\{
\begin{array}{rcl}
(x - y)(z - t) = A, \\
(y - z)(t - x) = B,\\
(x - z)(y - t) = C,\\
\end{array}
\right.
$$
имеет решение в вещественных числах, и при каких нет?
а) $A=1$, $B=2$, $C=3$; б) $A=3$, $B=2$, $C=1$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Найти минимальное целое число $k$, обладающее следующим свойством: в любом множестве из $k$ различных десятичных цифр существуют два элемента, что составленное ими двузначное число делится на квадрат целого числа, большего 1.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AL$ и $CK$, где точки $K$ и $L$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ так, что четырехугольники $AKLC$ и $KBLM$ — вписанные. Найдите угол $\angle ABC$, если радиусы окружностей, описанных около указанных четырехугольников, равны.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Найдите все натуральные числа $n$ такие, что $8^n -1$ делит $80^n -1$ без остатка.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На стороне $CD$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) отмечена точка $K$ так, что треугольник $ABK$ — равносторонний. Докажите, что на прямой $AB$ существует такая точка $L$, что треугольник $CDL$ также равносторонний.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Найдите все тройки натуральных чисел, удовлетворяющих свойству: произведение любых двух чисел при делении на третье число дает остаток 1.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Найдите целую часть числа
$\dfrac{{2^1 }}
{{1!}} + \dfrac{{2^2 }}
{{2!}} + \dfrac{{2^3 }}
{{3!}} + \ldots + \dfrac{{2^{100} }}
{{100!}}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. На окружности радиуса 1 отмечены $n$ точек.
Докажите, что существует не более $\frac{n^2}{3}$ различных отрезков, длины которых больше $\sqrt2$, с концами в этих точках.
комментарий/решение
комментарий/решение