Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып
Төменде көрсетілген A,B,C сандарының қандай мәндері үшін
{(x−y)(z−t)=A,(y−z)(t−x)=B,(x−z)(y−t)=C,
теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a) A=1, B=2, C=3; b) A=3, B=2, C=1.
посмотреть в олимпиаде
a) A=1, B=2, C=3; b) A=3, B=2, C=1.
Комментарий/решение:
x−y=a
y−z=b
z−t=c
x−z=a+b
t−x=−(a+b+c)
y−t=b+c
ac=1
−b(a+b+c)=2
(a+b)(b+c)=3
B+C=−ba−b2−bc+ab+b2+bc+ac=ac=A значить вариант a уже не подходить
b) (x−z)⋅(y−t) = (a+b)⋅(b+c)=1
Умножаем ac в обе стороны тогда c⋅(a+b)⋅a⋅(b+c)=3 ⇒ (3+cb)⋅(ab+3)=b2+3ab+3cb+9=3 ⇒ b2+ab+bc=−2
Мы знаем что ab+bc+b2=−2. ⇒ A⋅C=3⋅B 3⋅1=−6. Противоречие
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.