Математикадан республикалық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып

Төменде көрсетілген $A,B,C$ сандарының қандай мәндері үшін \[\left\{ \begin{array}{l} (x - y)(z - t) = A,\\ (y - z)(t - x) = B,\\ (x - z)(y - t) = C, \end{array} \right.\] теңдеулер жүйесінің шешімі табылады, ал қандай мәндері үшін оның шешімі жоқ?
a) $A=1,\text{ }B=2,\text{ }C=3$; b) $A=3,\text{ }B=2,\text{ }C=1$.

Комментарий/решение

$x - y = a$

$y - z = b$

$z - t = c$

$x - z = a + b$

$t - x = -(a + b + c)$

$y - t = b + c$

$ac = 1$

$-b(a+ b + c) = 2$

$(a + b)(b + c) = 3$

$B + C = -ba - b^2 - bc + ab + b^2 + bc + ac = ac = A$ значить вариант $a$ уже не подходить

$b)$ $(x - z) \cdot (y - t)$ = $(a + b) \cdot (b + c) = 1$

Умножаем $ac$ в обе стороны тогда $c \cdot (a + b) \cdot a \cdot (b + c) = 3$ $\Rightarrow$ $(3 + cb) \cdot (ab + 3) = b^2 + 3ab + 3cb + 9 = 3$ $\Rightarrow$ $b^2 + ab + bc = -2$

Мы знаем что $ab + bc + b^2 = -2$. $\Rightarrow$ $A \cdot C = 3 \cdot B$ $3 \cdot 1 = -6$. Противоречие