1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

Задача №1. Определите все положительные целые числа $n$, удовлетворяющие следующему условию: множество чисел $\{1,2, \ldots, 2 n-1,2 n\}$ может быть разделено на два непересекающихся множества чисел $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ содержащих по $n$ элементов каждое, таких, что сумма элементов множества $\mathcal{A}$ делит сумму элементов множества $\mathcal{B}$.
комментарий/решение

Задача №2. Дан треугольник $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны различные точки $K$ и $L$ такие, что $\angle ABK=\angle CBL$. Лучи $BK$ и $BL$ не перпендикулярны $AC$, и пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ второй раз в точках $K_1$ и $L_1$ соответственно. Точки $K_2$ и $L_2$ выбраны на касательных к описанной окружности треугольника $ABC$ из точек $K_1$ и $L_1$ соответственно так, что $\angle BKK_2=\angle BLL_2=90^\circ$. Докажите, что точки $A, C, K_2$, и $L_2$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение

Задача №3. Дано целое число $n \geqslant 2$. В Евроландии $n$ городов, причем любые два города соединены прямыми авиарейсами в обе стороны. Для каждой пары городов, император назначает положительную цену за авиарейс между городами, одинаковую для всех авиарейсов между выбранной парой городов. Для различных городов $A$ и $B$, пусть $D(A, B)$ обозначает количество авиарейсов в самом дешевом путешествии между городами; если таких путешествий несколько, то $D(A, B)$ выбирается по самому длинному путешествию. Для каждого значения $n$, найдите наибольшее возможное среднее значение $D(A, B)$ для всех пар различных городов $(A, B)$, которое император может достичь.
комментарий/решение

Задача №4. Пусть $\mathbb{N}$ обозначает множество положительных целых чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, которые одновременно удовлетворяют следующим условиям:
   (i) $f(m n)=f(m) f(n)$ для всех положительных целых чисел $m$ и $n$;
   (ii) Существует положительное целое число $с$ такое, что $f(n) \leqslant n^c$ для всех положительных целых чисел $n$;
   (iii) Числа $f(n)+m$ и $f(m)+n+1$ взаимно просты для всех положительных целых чисел $m$ и $n$.
комментарий/решение

Задача №5. Пусть $n \geqslant 4$ - целое положительное число. Определите все положительные действительные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ такие, что $$ \left\{\begin{aligned} x_1+x_2 & =x_2 x_3+1 \\ x_2+x_3 & =x_3 x_4+1 \\ & \vdots \\ x_{n-1}+x_n & =x_n x_1+1 \\ x_n+x_1 & =x_1 x_2+1 \end{aligned}\right. $$
комментарий/решение

Задача №6. Определите все положительные целые числа $n \geqslant 2$, удовлетворяющие следующему условию: для каждого положительного делителя $d$ числа $n$, произведение всех остальных положительных делителей числа $n$ равно точной степени числа. Точной степенью числа называется число вида $a^b$ для некоторых целых чисел $a \geqslant 1$ и $b \geqslant 2$.
комментарий/решение

Задача №7. Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB < AC$. Пусть $M$ середина отрезка $BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на отрезках $AC$ и $AB$ соответственно так, что описанная окружность треугольника $MEF$ касается $BC$. Описанные окружности треугольников $AEF$ и $ABC$ пересекаются в точке $P \neq A$. Пусть $Q$ точка на описанной окружности треугольника $AEF$ такая, что прямые $AQ$ и $BC$ перпендикулярны. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через центр описанной окружности треугольника $MEF$.
комментарий/решение

Задача №8. Для выпуклого многоугольника $\mathcal{P}$, пусть $\mathcal{B}$ — множество точек на границе $\mathcal{P}$. Назовем функцию $f: \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{B}$ Европейской, если она удовлетворяет следующим условиям:
   (i) $f(f(X))=X$ для всех точек $X \in \mathcal{B}$;
   (ii) Отрезки $Y f(Y)$ и $Z f(Z)$ имеют общую точку строго внутри многоугольника, для всех точек $Y, Z \in \mathcal{B}$.
   Чему равно наибольшее действительное число $c$ такое, что любого выпуклого многоугольника $\mathcal{P}$ и Европейской функции $f$, существует точка $W \in \mathcal{B}$ такая, что длина отрезка $W f(W)$ по крайней мере в $c$ раз больше периметра $\mathcal{P}$?
комментарий/решение

результаты