1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

Дан треугольник $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны различные точки $K$ и $L$ такие, что $\angle ABK=\angle CBL$. Лучи $BK$ и $BL$ не перпендикулярны $AC$, и пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ второй раз в точках $K_1$ и $L_1$ соответственно. Точки $K_2$ и $L_2$ выбраны на касательных к описанной окружности треугольника $ABC$ из точек $K_1$ и $L_1$ соответственно так, что $\angle BKK_2=\angle BLL_2=90^\circ$. Докажите, что точки $A, C, K_2$, и $L_2$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $KK_2 \cup LL_2 = X$ и $AC \cup L_1L_2 = Y$.

Факт 1: $(BXL_1L_2)$ - вписан.

Так как точки $B,K,X,L$ лежат на окружности с диаметром $OX$ и $AC \parallel K_2L_2$ , то $\angle KBX = \angle KLX = \angle K_2LY$, и так как $\angle KBL = \angle K_1L_1S = \angle KYL_1$, то $$\angle KBX + \angle LBX = \angle KBL = \angle KYL_1 = \angle K_2LY + \angle LL_2Y$$ Откуда $\angle LBX = \angle L_1BX = \angle LL_2Y= \angle XL_2L_1$.

Тогда $XL \cdot LL_2 = BL \cdot LL_1 = AL \cdot LC$ , то есть $AXCL_2$ - вписан , аналогично $AXCK_2$ - вписан откуда $ACK_2L_2$ - вписан.