1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

Есеп №1. Келесі шарт орындалатындай барлық оң бүтін $n$ сандарын анықтаңыз: $\{1,2,\ldots,2n-1,2n\}$ сандар жиынын әрқайсысында $n$ элементтен болатын, өзара қиылыспайтын $\mathcal{A}$ және $\mathcal{B}$ сандар жиындарына бөлуге болады және $\mathcal{A}$ жиыны элементтерінің қосындысы $\mathcal{B}$ жиыны элементтерінің қосындысына бөлінеді.
комментарий/решение

Есеп №2. $ABC$ үшбұрышы берілген. $AC$ кесіндісінде $\angle ABK=\angle CBL$ болатындай әртүрлі $K$ және $L$ нүктелері таңдалған. $BK$ және $BL$ сәулелері $AC$ түзуіне перпендикуляр емес және олар $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін сәйкесінше $K_1$ және $L_1$ нүктелерінде екінші рет қиып өтеді. $K_1$ және $L_1$ нүктелерінен $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберіне жүргізілген жанамаларда сәйкесінше $K_2$ және $L_2$ нүктелері $\angle BKK_2=\angle BLL_2=90^\circ$ болатындай етіп таңдалған. $A$, $C$, $K_2$ және $L_2$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №3. $n\geqslant2$ бүтін саны берілген. Еуроландияда $n$ қала бар және кез келген екі қала өзара тікелей әуе рейстерімен қосылған. Әрбір қалалар жұбы үшін император осы екі қала арасындағы барлық әуе рейстеріне бірдей болатын оң баға белгілейді. Әртүрлі $A$ және $B$ қалалары үшін $D(A,B)$ арқылы осы қалалар арасындағы ең арзан саяхаттағы әуе рейстерінің санын белгілейік; егер мұндай саяхаттар бірнешеу болса, $D(A,B)$ ең ұзақ саяхат үшін алынады. Әрбір $n$ мәні үшін император қол жеткізе алатын барлық әртүрлі қалалар жұбы $(A,B)$ үшін $D(A,B)$ шамаларының орташа мәнінің ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение

Есеп №4. $\mathbb{N}$ — оң бүтін сандар жиынын білдірсін. Келесі шарттарды бір уақытта қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ функцияларын табыңыз:
   (i) барлық оң бүтін $m$ және $n$ сандары үшін $f(mn)=f(m)f(n)$;
   (ii) барлық оң бүтін $n$ сандары үшін $f(n)\leqslant n^c$ болатындай оң бүтін $c$ саны бар;
   (iii) барлық оң бүтін $m$ және $n$ сандары үшін $f(n)+m$ және $f(m)+n+1$ сандары өзара жай.
комментарий/решение

Есеп №5. $n\geqslant4$ — оң бүтін сан. Келесі жүйені қанағаттандыратын барлық оң нақты $x_1,x_2,\ldots,x_n$ сандарын анықтаңыз: \[ \left\{ \begin{aligned} x_1+x_2 &= x_2x_3+1\\ x_2+x_3 &= x_3x_4+1\\ &\vdots\\ x_{n-1}+x_n &= x_nx_1+1\\ x_n+x_1 &= x_1x_2+1 \end{aligned} \right. \]
комментарий/решение

Есеп №6. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық оң бүтін $n\geqslant2$ сандарын анықтаңыз: $n$ санының әрбір оң бөлгіші $d$ үшін $n$ санының қалған барлық оң бөлгіштерінің көбейтіндісі толық дәреже болып табылады. Толық дәреже деп кейбір $a\geqslant1$ және $b\geqslant2$ бүтін сандары үшін $a^b$ түрінде жазылатын санды айтамыз.
комментарий/решение

Есеп №7. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышы берілген, мұнда $AB < AC$. $M$ — $BC$ кесіндісінің ортасы болсын. $E$ және $F$ нүктелері сәйкесінше $AC$ және $AB$ кесінділерінде орналасқан және $MEF$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбер $BC$ түзуіне жанасады. $AEF$ және $ABC$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері $A$-дан өзгеше $P$ нүктесінде қиылысады. $Q$ — $AEF$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберіндегі $AQ$ түзуі $BC$ түзуіне перпендикуляр болатын нүкте. $PQ$ түзуі $MEF$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберінің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №8. $\mathcal{P}$ — дөңес көпбұрыш болсын, ал $\mathcal{B}$ арқылы $\mathcal{P}$ көпбұрышының шекарасындағы нүктелер жиынын белгілейік. $f:\mathcal{B}\rightarrow\mathcal{B}$ функциясы келесі шарттарды қанағаттандырса, оны Еуропалық функция деп атайық:
   (i) барлық $X\in\mathcal{B}$ нүктелері үшін $f(f(X))=X$;
   (ii) барлық $Y,Z\in\mathcal{B}$ нүктелері үшін $Yf(Y)$ және $Zf(Z)$ кесінділерінің ортақ нүктесі көпбұрыштың қатаң ішкі аймағында жатады.
   Кез келген дөңес $\mathcal{P}$ көпбұрышы және кез келген Еуропалық $f$ функциясы үшін ұзындығы $\mathcal{P}$ көпбұрышының периметрінен кемінде $c$ есе үлкен болатын $W\in\mathcal{B}$ нүктесі әрқашан бар болатындай, $c$-ның ең үлкен нақты мәні неге тең?
комментарий/решение

результаты