1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

Определите все положительные целые числа $n \geqslant 2$, удовлетворяющие следующему условию: для каждого положительного делителя $d$ числа $n$, произведение всех остальных положительных делителей числа $n$ равно точной степени числа. Точной степенью числа называется число вида $a^b$ для некоторых целых чисел $a \geqslant 1$ и $b \geqslant 2$.

Комментарий/решение

Ответ: $n = p^x$ , $x \geq 3$

Пусть у числа $n$ есть хотя бы $2$ различных простых делителей , то есть $n = p^a \cdot q^b \cdot s$.

1. $n$ - не точный квадрат.

Тогда если $P$ - произведение всех делителей то $P = n^k$ где $2k$ - количество делителей числа $n$. Тогда $\frac{p^{ka} \cdot q^{kb} \cdot s^k}{d}$ - точная степень, где $d \mid n$.

Числа $(m,n) > a,b$ назовем почти взаимно простыми если $\exists s,t$ что $0 \leq s \leq a$, $0 \leq t \leq b$ и $gcd(m-s , n-t) = 1$. Если докажем что $(ka,kb)$ почти взаимно просты , то $\frac{p^{ka} \cdot q^{kb} \cdot s^k}{d}$ не сможет быть точной степенью числа.

Пусть $a > b$ и $a = bq +r$ где $0 \leq r \leq b-1$ , тогда $(ka,kb)$ почти взаимно просты , тогда и только тогда , когда $(kb,kr)$ почти взаимно просты, взяв $b = rt + s$ , получим что нужно доказать что $(kr,ks)$ почти взаимно просты, и так продолжаем. Так как оно повторяет Алгоритм Эвклида то когда то мы дойдем до чисел $(kx,ky)$ где $y \mid x$, $x = yt$ , но тогда так как $gcd(kyt-1,ky) = 1$, то числа $(kx,ky)$ почти взаимно просты, откуда и $(ka,kb)$ почти взаимно просты.

Откуда $\exists m,n$ что $0 \leq m \leq a$, $0 \leq n \leq b$ и $gcd(ka-m , kb-n) = 1$, тогда возьмем $d = p^m \cdot q^n$ и получим что число $p^{ka-m} \cdot q^{kb-n} \cdot s^k$ точная степень , что невозможно.

2. $n$ - точный квадрат

$n = m^2$ , тогда $P = m^{2k+1}$ ,Тогда $\frac{p^{ca} \cdot q^{cb} \cdot s^c}{d}$ - точная степень, где $d \mid n$, откуда так же получаем противоречие.