1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

Пусть $n \geqslant 4$ - целое положительное число. Определите все положительные действительные числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ такие, что $$ \left\{\begin{aligned} x_1+x_2 & =x_2 x_3+1 \\ x_2+x_3 & =x_3 x_4+1 \\ & \vdots \\ x_{n-1}+x_n & =x_n x_1+1 \\ x_n+x_1 & =x_1 x_2+1 \end{aligned}\right. $$

Комментарий/решение

$$\left\{ \begin{gathered} x_1 -1 = x_2(x_3 - 1),\\ x_2 -1 = x_3(x_4 - 1), \\ . \\ . \\ .\\ x_n -1 = x_1(x_2 - 1) \end{gathered} \right.$$

Если $2 \mid n$ , и $\exists i$ , что $x_i =1$ , и $2 \mid i$ , то и $x_{2k} = 1$ , откуда ответ:$(x_1,x_2 \dots x_n) = (x,1, \dots x,1)$, если $2 \nmid i$ , то ответ: $(x_1,x_2 \dots x_n) = (1,x, \dots 1,x)$ где $x > 0$.

Если $2 \nmid n$ , и $\exists i$ , что $x_i =1$ то при всех $i$ , $x_i = 1$ , откуда ответ: $(x_1,x_2 \dots x_n) = (1,1, \dots 1,1)$

Пусть $x_i \ne 1$ при всех $i$ , тогда умножив все равенства и сократив получим что $x_1x_2 \dots x_n = 1$

Отнимем от первого уравнения второе и получим: $x_1 - x_3 = x_3(x_2 - x_4)$ , если $\exists i $ что $x_i = x_{i+2}$ , то $x_1 = x_3 = \dots = x_{2k+1} = \dots y $ и $x_2 = x_4 = \dots = x_{2k} = \dots x$ , откуда $x+y =xy +1$ тогда один из них равен $1$ , противоречие.

Пусть $x_i < 1$ , тогда $1 + x_{i+1} > x_i +x_{i+1} = x_{i+1}x_{i+2} + 1$ , откуда $x_{i+2} < 1$ , поэтому $x_{i+2k} < 1$ и $x_{i+2k+1} >1$ иначе их произведение было бы меньше $1$.

Суммируя все уравнения получим $2 \sum \limits_{i=1}^{n}{x_i} = x_1x_2 +x_2x_3 + \dots x_{n-1}x_n + x_nx_1 +n$, откуда $$(x_1-1)(x_2-1) + (x_2-1)(x_3-1) + \dots (x_n-1)(x_1-1) = 0$$

Но $(x_i -1)(x_{i+1} - 1) < 0$ , так как один из них больше $1$ , один из них меньше $1$, откуда если $2 \mid n $ , то $$0 = (x_1-1)(x_2-1) + (x_2-1)(x_3-1) + \dots (x_n-1)(x_1-1) < 0$$ Противоречие. Если $2 \nmid n$ , то из $ x_n -1 = x_1(x_2 - 1) $ видим что если $x_1 > 1 $, то $x_2 > 1$ , и если $x_1 < 1 $, то $x_2 < 1$ , Противоречие.