1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB < AC$. Пусть $M$ середина отрезка $BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на отрезках $AC$ и $AB$ соответственно так, что описанная окружность треугольника $MEF$ касается $BC$. Описанные окружности треугольников $AEF$ и $ABC$ пересекаются в точке $P \neq A$. Пусть $Q$ точка на описанной окружности треугольника $AEF$ такая, что прямые $AQ$ и $BC$ перпендикулярны. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через центр описанной окружности треугольника $MEF$.

Комментарий/решение

$O-$ центр $(MEF)$ , $AQ \cup BC = D$, $EF \cup BC = T$ и $N - $ середина отрезка $EF$.

Факт 1: $(OMPT)$ - вписан.

Заметим что точки $O,N,M,T$ лежат на одной окружности с диаметром $OT$ , так как $P$ центр поворотной гомотетий переводящий отрезок $EF$ в $BC$, то она переводит их середины , то есть $N$ и $M$, откуда $MNPT$ вписан.

Пусть $OP \cup AD = Q'$ , откуда $\angle AQP = \angle AEP = \angle CTP = \angle MTP = \angle MOQ' = \angle AQ'O$ , откуда $Q = Q'$ , где в последнем равенстве мы использовали что $AD \parallel OM$ и так как $P - $ точка Микеля $BFEC$, то $(PECT) - $ вписан.