1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

$ABC$ сүйір бұрышты үшбұрышы берілген, мұнда $AB < AC$. $M$ — $BC$ кесіндісінің ортасы болсын. $E$ және $F$ нүктелері сәйкесінше $AC$ және $AB$ кесінділерінде орналасқан және $MEF$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбер $BC$ түзуіне жанасады. $AEF$ және $ABC$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері $A$-дан өзгеше $P$ нүктесінде қиылысады. $Q$ — $AEF$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберіндегі $AQ$ түзуі $BC$ түзуіне перпендикуляр болатын нүкте. $PQ$ түзуі $MEF$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберінің центрі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$O-$ центр $(MEF)$ , $AQ \cup BC = D$, $EF \cup BC = T$ и $N - $ середина отрезка $EF$.

Факт 1: $(OMPT)$ - вписан.

Заметим что точки $O,N,M,T$ лежат на одной окружности с диаметром $OT$ , так как $P$ центр поворотной гомотетий переводящий отрезок $EF$ в $BC$, то она переводит их середины , то есть $N$ и $M$, откуда $MNPT$ вписан.

Пусть $OP \cup AD = Q'$ , откуда $\angle AQP = \angle AEP = \angle CTP = \angle MTP = \angle MOQ' = \angle AQ'O$ , откуда $Q = Q'$ , где в последнем равенстве мы использовали что $AD \parallel OM$ и так как $P - $ точка Микеля $BFEC$, то $(PECT) - $ вписан.