1-я Европейская математическая олимпиада, Вильнос, Литва

Дан остроугольный треугольник $ABC$, причем $AB < AC$. Пусть $M$ середина отрезка $BC$. Точки $E$ и $F$ выбраны на отрезках $AC$ и $AB$ соответственно так, что описанная окружность треугольника $MEF$ касается $BC$. Описанные окружности треугольников $AEF$ и $ABC$ пересекаются в точке $P \neq A$. Пусть $Q$ точка на описанной окружности треугольника $AEF$ такая, что прямые $AQ$ и $BC$ перпендикулярны. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через центр описанной окружности треугольника $MEF$.