Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1. (а) және (ә) шарттарын бірдей қанағттандыратын

$x,y,z,t$ нақгы сандарын табыңыздар:
(а)

$x+y+z=1,5$ ;
(ә)

$\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\ge 2+{{3}^{\sqrt{t-2}}}$ .
комментарий/решение(7)

Есеп №2. Кез келген

$p$ жай саны үшін

$C_{2p}^{p}-2$ саны

${{p}^{2}}$ -қа бөлінетінін дәлелдеңіздер. Мұндағы

$C_{2p}^{p}=\dfrac{\left( 2p \right)!}{{{\left( p! \right)}^{2}}}$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle C > 10{}^\circ$ және

$\angle B=\angle C+10{}^\circ$ .

$\angle ACE=10{}^\circ$ және

$\angle ABD=15{}^\circ$ болатындай етіп

$AB$ және

$AC$ қабырғаларынан

$E$ және

$D$ нүктелері алынған.

$A$ -дан өзге

$Z$ нүктссі

$ABD$ және

$AEC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің қиылысу нүктесі болсын.

$\angle ZBA > \angle ZCA$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. Мына шартты канағаттандыратын барлық нақты сандар жиындарын табыңдар: жиындағы әрбір

$x$ санымен бірге ол жиынға

$3|x|-4{{x}^{2}}-1$ саны да кіреді.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Әрбір

$k$ үшін

${{a}_{k}}$ саны

$k$ -ға бөлінетіндей

$2,3,4,\ldots ,102$ сандарьның

${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{101}}$ орын алмастыруы берілген. Осындай барлық орын алмастыруларды табыңдар.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$A$ және

$B$ төбелерінен түсірілген биіктітердің табаны сәйкес

$D$ және

$E$ деп белгіленген,

$AC > AB$ және

$AB=2DE$ . Үшбұрышқа сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлерін сәйкесінше

$O$ және

$I$ деп белгілейік.

$AIO$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}$ саны рационал болатындай барлық

$a$ және

$b$ бүтін сандарын табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №8. Патшалықта 16 қала бар. Патша әр қаладан әр қалага ең көп дегенде бір қаланың үстін басып өтуге болатындай және әр каладан ең көп дегенде 5 жол шығатындай етіп жол жүйесіп салғысы келеді.
(а) Бұл мақсатты іске асыруға мүмкін екенігін дәлелдеңіздер.
(б) Егер есептің шартындағы 5 санын 4 санына ауыстырсақ, онда патшаның ойы іске аспайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)