қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. (а) және (ә) шарттарын бірдей қанағттандыратын $x,y,z,t$ нақгы сандарын табыңыздар:
(а)$x+y+z=1,5$;
(ә) $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\ge 2+{{3}^{\sqrt{t-2}}}$.
комментарий/решение(7)
(а)$x+y+z=1,5$;
(ә) $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\ge 2+{{3}^{\sqrt{t-2}}}$.
комментарий/решение(7)
Есеп №2. Кез келген $p$ жай саны үшін $C_{2p}^{p}-2$ саны ${{p}^{2}}$-қа бөлінетінін дәлелдеңіздер. Мұндағы $C_{2p}^{p}=\dfrac{\left( 2p \right)!}{{{\left( p! \right)}^{2}}}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $\angle C > 10{}^\circ $ және $\angle B=\angle C+10{}^\circ $. $\angle ACE=10{}^\circ $ және $\angle ABD=15{}^\circ $ болатындай етіп $AB$ және $AC$ қабырғаларынан $E$ және $D$ нүктелері алынған. $A$-дан өзге $Z$ нүктссі $ABD$ және $AEC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің қиылысу нүктесі болсын. $\angle ZBA > \angle ZCA$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Мына шартты канағаттандыратын барлық нақты сандар жиындарын табыңдар: жиындағы әрбір $x$ санымен бірге ол жиынға $3|x|-4{{x}^{2}}-1$ саны да кіреді.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Әрбір $k$ үшін ${{a}_{k}}$ саны $k$-ға бөлінетіндей $2,3,4,\ldots ,102$ сандарьның ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{101}}$ орын алмастыруы берілген. Осындай барлық орын алмастыруларды табыңдар.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктітердің табаны сәйкес $D$ және $E$ деп белгіленген, $AC > AB$ және $AB=2DE$. Үшбұрышқа сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлерін сәйкесінше $O$ және $I$ деп белгілейік. $AIO$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}$ саны рационал болатындай барлық $a$ және $b$ бүтін сандарын табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. Патшалықта 16 қала бар. Патша әр қаладан әр қалага ең көп дегенде бір қаланың үстін басып өтуге болатындай және әр каладан ең көп дегенде 5 жол шығатындай етіп жол жүйесіп салғысы келеді.
(а) Бұл мақсатты іске асыруға мүмкін екенігін дәлелдеңіздер.
(б) Егер есептің шартындағы 5 санын 4 санына ауыстырсақ, онда патшаның ойы іске аспайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
(а) Бұл мақсатты іске асыруға мүмкін екенігін дәлелдеңіздер.
(б) Егер есептің шартындағы 5 санын 4 санына ауыстырсақ, онда патшаның ойы іске аспайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)