Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Найдите все множества действительных чисел, удовлетворяющие условию: вместе с каждым числом $x$, множество содержит также число $3|x|-4x^2-1$.

Комментарий/решение

Заметим, что $3|x|-4(|x|)^2-1\leq 3|x|-4|x|=-|x|<0$ (при $|x|=0, 3|x|-4(|x|)^2-1=-1<0$

Значит все числа множества $<0$. $M={-a_1,-a_2,...,-a_n}$,где $a_i>0$.

$$S(M)=-a_1-...-a_n=3(a_1+...+a_n)-4(a_1^2+...+a_n^2)-n$$

$$4(a_1^2+..+a_n^2)+n=4a_1+...+4a_n$$

но $(4a_1^2+1)+...+(4a_n^2+1)\geq 4a_1+...+4a_n$(Неравенство средних достигается равенство при $1=a_i$). Значит $-a_1=...=-a_n=-1$.