Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Задача №1. Найдите действительные числа

$x$ ,

$y$ ,

$z$ ,

$t$ , для которых одновременно выполняются соотношения а) и б):
а)

$x+y+z=1,\!5$ ;
б)

$\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1} \geq 2+3^{\sqrt{t-2}}$ .
комментарий/решение(7)

Задача №2. Докажите, что число

$C_{2p}^p - 2$ делится на

$p^2$ . для любого простого

$p$ , где

$C_{2p}^p=\frac{(2p)!}{{(p!)}^2}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. В

$\triangle ABC$ известно, что

$\angle C > 10^{\circ}$ и

$\angle B=\angle C+10^{\circ}$ . Рассмотрим точки

$E, D$ на отрезках

$AB$ и

$AC$ соответственно такие, что

$\angle ACE=10^{\circ}$ и

$\angle ABD=15^{\circ}$ . Пусть точка

$Z$ , отличная от точки

$A$ , является точкой пересечения описанных окружностей треугольников

$ABD$ и

$AEC$ . Докажите, что

$\angle ZBA > \angle ZCA$ .
комментарий/решение

Задача №4. Найдите все множества действительных чисел, удовлетворяющие условию: вместе с каждым числом

$x$ , множество содержит также число

$3|x|-4x^2-1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5.

$a_1, a_2, \ldots, a_{101}$ — перестановка чисел

$2, 3, 4, \ldots, 102$ такая, что

$a_k$ делится на

$k$ для каждого

$k$ . Найдите все такие перестановки.
комментарий/решение(3)

Задача №6. В остроугольном треугольнике точки

$D$ и

$E$ являются основаниями высот, опущенных из вершин

$A$ и

$B$ соответственно,

$AC > BC$ и

$AB = 2DE$ . Обозначим через

$O$ и

$I$ соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Найдите угол

$\angle AIO$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Найдите все целые значения чисел

$a, b$ , при которых число

$\frac{\sqrt2+\sqrt{a}}{\sqrt3+\sqrt{b}}$ является рациональным.
комментарий/решение

Задача №8. В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более 5 дорог.
а) Докажите, что это возможно.
б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.
комментарий/решение(2)