Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Задача №1. Найдите действительные числа $x$, $y$, $z$, $t$, для которых одновременно выполняются соотношения а) и б):
а) $x+y+z=1,\!5$;
б) $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1} \geq 2+3^{\sqrt{t-2}}$ .
комментарий/решение(7)

---

Задача №2. Докажите, что число $C_{2p}^p - 2$ делится на $p^2$. для любого простого $p$, где $C_{2p}^p=\frac{(2p)!}{{(p!)}^2}$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3. В $\triangle ABC$ известно, что $\angle C > 10^{\circ}$ и $\angle B=\angle C+10^{\circ}$ . Рассмотрим точки $E, D$ на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно такие, что $\angle ACE=10^{\circ}$ и $\angle ABD=15^{\circ}$. Пусть точка $Z$, отличная от точки $A$, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников $ABD$ и $AEC$. Докажите, что $\angle ZBA > \angle ZCA$.
комментарий/решение

---

Задача №4. Найдите все множества действительных чисел, удовлетворяющие условию: вместе с каждым числом $x$, множество содержит также число $3|x|-4x^2-1$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5. $a_1, a_2, \ldots, a_{101}$ — перестановка чисел $2, 3, 4, \ldots, 102$ такая, что $a_k$ делится на $k$ для каждого $k$. Найдите все такие перестановки.
комментарий/решение(3)

---

Задача №6. В остроугольном треугольнике точки $D$ и $E$ являются основаниями высот, опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно, $AC > BC$ и $AB = 2DE$. Обозначим через $O$ и $I$ соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Найдите угол $\angle AIO$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №7.  Найдите все целые значения чисел $a, b$, при которых число $\frac{\sqrt2+\sqrt{a}}{\sqrt3+\sqrt{b}}$ является рациональным.
комментарий/решение

---

Задача №8. В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более 5 дорог.
а) Докажите, что это возможно.
б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.
комментарий/решение(2)

---