Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

В $\triangle ABC$ известно, что $\angle C > 10^{\circ}$ и $\angle B=\angle C+10^{\circ}$ . Рассмотрим точки $E, D$ на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно такие, что $\angle ACE=10^{\circ}$ и $\angle ABD=15^{\circ}$. Пусть точка $Z$, отличная от точки $A$, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников $ABD$ и $AEC$. Докажите, что $\angle ZBA > \angle ZCA$.

Комментарий/решение

$G$ - пересечение $CE, \ BD$ тогда $Z$ - точка Микеля $ABD, \ AEC, \ BGE, \ CGD$ проведем сер-ый перпендикуляр $l$ к $BC$ и $ F \in l \cap AC$ тогда $\angle FBA = 10^{\circ}$ вся задача сводится к тому чтобы доказать что точка $Z$ лежит в правой полуплоскости $l$, если $I \in CE \cap l, \ H \in CE \cap BF, \ K \in BI \cap AC$ тогда окружности описанной около $CIK, \ CFH$ пересекаются в одной точке $L$ на $l$ так как $\angle BKF = \angle CHF$ из симметрии.

Пусть $X$ центр $AEC$ и $J$ середина $CE$ и $Y$ пересечение $XJ$ с этой окружностью, тогда, учитывая $\angle CFB = \angle BAC + 10^{\circ}> \angle BAC$ получается $\angle CYE > \angle CLH$ значит окружность $ACE$ пересекает $l$ выше чем $L$, значит эта окружность пересекает окружности $CIK, \ CFH$ в правой полуплоскости $l$, $BD$ является биссектрисой $\angle BKF$ то есть лежит между $K,F$ значит окружность описанная около $CDG$ пересекает $ACE$ между точками пересечения $CIK, CFH$ с $ACE$ значит $Z$ лежит правее от $l$ тогда $\angle ZBC > \angle ZCB$ и $\angle B > \angle C$ значит $\angle ZBA > \angle ZCA$