Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

Кез келген $p$ жай саны үшін $C_{2p}^{p}-2$ саны ${{p}^{2}}$-қа бөлінетінін дәлелдеңіздер. Мұндағы $C_{2p}^{p}=\dfrac{\left( 2p \right)!}{{{\left( p! \right)}^{2}}}$.

Комментарий/решение

Келесі теңдікті пайдалансақ: $C_{2p}^{p}=\left ( C_{p}^{0} \right )^2+\left ( C_{p}^{1} \right )^2+...+\left ( C_{p}^{p-1} \right )^2+\left ( C_{p}^{p} \right )^2.$

$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$; $C_{p}^{0}=C_{p}^{p}=1.$

$C_{2p}^{p}-2=\left ( C_{p}^{0} \right )^2+\left ( C_{p}^{1} \right )^2+...+\left ( C_{p}^{p-1} \right )^2+\left ( C_{p}^{p} \right )^2-2=\left ( C_{p}^{1} \right )^2+...+\left ( C_{p}^{p-1} \right )^2.$

$\left (C_{p}^{1} \right )^2=\left (\frac{p!}{(p-1)!1!} \right )^2=p^2.$

$\left (C_{p}^{2} \right )^2=\left (\frac{p!}{(p-2)!2!} \right )^2=\frac{(p-1)^2p^2}{\left (2! \right )^2}$

$--------------$

$\left (C_{p}^{p-1} \right )^2=p^2.$

$C_{2p}^{p}-2=p^2\left (1+\frac{(p-1)^2}{(2!)^2}+\frac{(p-2)^2(p-1)^2}{(3!)^2}+...+1 \right ).$

$$Случай 1:p=2$$

$C_{4}^{2}=$ $6-2=4=2^2*1$ победа

$$Случай 2:p>2$$

$C_{2p}^{p}-2=2p!/p!-2=2*(p*(2p-1)!)/p!$, так как $p>2$ будет достаточно показать что $(p*(2p-1)!/p!)-1$ делится на $p^2$

Во-первых, заметим что $p*(2p-1)!/p! \equiv p*(p-1)!/p!=1 \pmod {p}$, следовательно $(p*(2p-1)!/p!)-1$ делится на $p$, следовательно

$$(p*(2p-1)!/p!)-1)/p=(2p-1)!/p!-1/p$$ -целое

Для завершения доказательства, достаточно показать что $(2p-1)!/p!-1/p$ делится на $p$

Действительно, $(2p-1)!/p!-1/p \equiv (p-1)!/p!-1/p=1/p-1/p=0 \pmod {p}$, отсюда получаем требуемое