Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

Найдите действительные числа $x$, $y$, $z$, $t$, для которых одновременно выполняются соотношения а) и б):
а) $x+y+z=1,\!5$;
б) $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1} \geq 2+3^{\sqrt{t-2}}$ .

Комментарий/решение

$ f:《a,b》\rightarrow R-$ выпукла

$$ \quad (x_1,x_2,...x_n)\in 《a,b》, \quad \forall \lambda_j>0, \quad j=1,2,...,n \quad \lambda_1+...+\lambda_n=1$$

$$ \sum_{j=1}^n \lambda_j f(x_j) \geq f(\sum_{j=1}^{n}\lambda_jx_j)$$

$$f(x)=\sqrt{4x-1} \Rightarrow f"(x)<0$$

$$3\left(\frac{1}{3}f(x)+\frac{1}{3}f(y)+\frac{1}{3}f(z) \right) \geq3f\left(\frac{\underbrace{x+y+z}_{1,5}}{3}\right)=$$ $$=3f(0,5)=3\sqrt{4\cdot0,5-1}=3=2+3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow t=2$$

Ответ: $A=\left\{ (x,y,z)\in [0,25,\infty)×[0,25,\infty) × [0,25,\infty) | x+y+z=1,5\right\}, t=2$

Есть только единственное решение $(x,y,z)$

$$x+y+z=1,5 \Rightarrow 4x+4y+4z=6 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow (4x-1)+1+(4y-1)+1+(4z-1)+1=6$$

$$a+b\geq 2\sqrt{ab} , (a>0,b>0)$$

$$6\geq 2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}$$

$$6\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow 1\geq 3^{\sqrt{t-2}} \Rightarrow \sqrt{t-2}\geq 0 \Rightarrow \sqrt{t-2}=0 \Rightarrow t=2$$

в пятой строчке опечатка, должно быть $ \sqrt{t-2} \leq 0 $

$4x^2 \geq 4x-1, \Rightarrow \sqrt{4x-1} \leq 2x, (4x-1\geq 0)$ тогда

$2+3^{\sqrt{t-2}} \leq \sum \sqrt{4x-1} \leq 2x+2y+2z=2 \cdot 1,5=3,$

$ 3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0,$ но $\sqrt{t-2} \geq 0, \Rightarrow t-2=0, t=2$. Так как $t=2$, имеем, что $4x^2=4x-1$, $\Rightarrow 2x-1=0, x=y=z=0,5.$

Стоит отметить, что $3>1$, поэтому неравенство $3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0$ верно

ай хорошее решение, решения сверху пугают.

Пере-формулируем: $\sqrt{4x-1}=a;\sqrt{4y-1}=b;\sqrt{4z-1}=c\rightarrow a+b+c\geq 2+3^\sqrt {t-2} ; \dfrac{a^2+1}{4}+\dfrac{b^2+1}{4}+\dfrac{c^2+1}{4}=1.5\rightarrow a^2+b^2+c^2=3$

Отсюда следует, по неравенству КБШ: $3=\sqrt{(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)}\geq a+b+c\geq 2+3^\sqrt{t-2}\geq 2+3^0=3$. Учитывая, что $\sqrt{t-2}\geq 0$. Отсюда следует, что $a+b+c=3 \rightarrow a=b=c=1$, так как если равенство в кбш достигается то либо один из наборов нулевой либо 2 набора чисел пропорциональны.

$\rightarrow x=y=z=1/4,t=2$