Processing math: 26%

Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс


Найдите действительные числа x, y, z, t, для которых одновременно выполняются соотношения а) и б):
а) x+y+z=1,5;
б) 4x1+4y1+4z12+3t2 .
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
6 года 10 месяца назад #

f:a,bR выпукла

(x1,x2,...xn)a,b,λj>0,j=1,2,...,nλ1+...+λn=1

nj=1λjf(xj)f(nj=1λjxj)

f(x)=\sqrt{4x-1} \Rightarrow f"(x)<0

3\left(\frac{1}{3}f(x)+\frac{1}{3}f(y)+\frac{1}{3}f(z) \right) \geq3f\left(\frac{\underbrace{x+y+z}_{1,5}}{3}\right)= =3f(0,5)=3\sqrt{4\cdot0,5-1}=3=2+3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow t=2

Ответ: A=\left\{ (x,y,z)\in [0,25,\infty)×[0,25,\infty) × [0,25,\infty) | x+y+z=1,5\right\}, t=2

  1
3 года 11 месяца назад #

Есть только единственное решение (x,y,z)

  0
6 года 10 месяца назад #

x+y+z=1,5 \Rightarrow 4x+4y+4z=6 \Rightarrow \Rightarrow (4x-1)+1+(4y-1)+1+(4z-1)+1=6

a+b\geq 2\sqrt{ab} , (a>0,b>0)

6\geq 2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}

6\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow 1\geq 3^{\sqrt{t-2}} \Rightarrow \sqrt{t-2}\geq 0 \Rightarrow \sqrt{t-2}=0 \Rightarrow t=2

  1
3 года 11 месяца назад #

в пятой строчке опечатка, должно быть \sqrt{t-2} \leq 0

пред. Правка 3   1
3 года 1 месяца назад #

4x^2 \geq 4x-1, \Rightarrow \sqrt{4x-1} \leq 2x, (4x-1\geq 0) тогда

2+3^{\sqrt{t-2}} \leq \sum \sqrt{4x-1} \leq 2x+2y+2z=2 \cdot 1,5=3,

3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0, но \sqrt{t-2} \geq 0, \Rightarrow t-2=0, t=2. Так как t=2, имеем, что 4x^2=4x-1, \Rightarrow 2x-1=0, x=y=z=0,5.

Стоит отметить, что 3>1, поэтому неравенство 3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0 верно

  0
3 года 1 месяца назад #

ай хорошее решение, решения сверху пугают.

пред. Правка 2   0
8 месяца 23 дней назад #

Пере-формулируем: \sqrt{4x-1}=a;\sqrt{4y-1}=b;\sqrt{4z-1}=c\rightarrow a+b+c\geq 2+3^\sqrt {t-2} ; \dfrac{a^2+1}{4}+\dfrac{b^2+1}{4}+\dfrac{c^2+1}{4}=1.5\rightarrow a^2+b^2+c^2=3

Отсюда следует, по неравенству КБШ: 3=\sqrt{(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)}\geq a+b+c\geq 2+3^\sqrt{t-2}\geq 2+3^0=3. Учитывая, что \sqrt{t-2}\geq 0. Отсюда следует, что a+b+c=3 \rightarrow a=b=c=1, так как если равенство в кбш достигается то либо один из наборов нулевой либо 2 набора чисел пропорциональны.

\rightarrow x=y=z=1/4,t=2