Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
а) x+y+z=1,5;
б) √4x−1+√4y−1+√4z−1≥2+3√t−2 .
Комментарий/решение:
f:《a,b》→R− выпукла
(x1,x2,...xn)∈《a,b》,∀λj>0,j=1,2,...,nλ1+...+λn=1
n∑j=1λjf(xj)≥f(n∑j=1λjxj)
f(x)=\sqrt{4x-1} \Rightarrow f"(x)<0
3\left(\frac{1}{3}f(x)+\frac{1}{3}f(y)+\frac{1}{3}f(z) \right) \geq3f\left(\frac{\underbrace{x+y+z}_{1,5}}{3}\right)= =3f(0,5)=3\sqrt{4\cdot0,5-1}=3=2+3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow t=2
Ответ: A=\left\{ (x,y,z)\in [0,25,\infty)×[0,25,\infty) × [0,25,\infty) | x+y+z=1,5\right\}, t=2
x+y+z=1,5 \Rightarrow 4x+4y+4z=6 \Rightarrow \Rightarrow (4x-1)+1+(4y-1)+1+(4z-1)+1=6
a+b\geq 2\sqrt{ab} , (a>0,b>0)
6\geq 2\sqrt{4x-1}+2\sqrt{4y-1}+2\sqrt{4z-1}\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}
6\geq 4+2\cdot3^{\sqrt{t-2}}\Rightarrow 1\geq 3^{\sqrt{t-2}} \Rightarrow \sqrt{t-2}\geq 0 \Rightarrow \sqrt{t-2}=0 \Rightarrow t=2
4x^2 \geq 4x-1, \Rightarrow \sqrt{4x-1} \leq 2x, (4x-1\geq 0) тогда
2+3^{\sqrt{t-2}} \leq \sum \sqrt{4x-1} \leq 2x+2y+2z=2 \cdot 1,5=3,
3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0, но \sqrt{t-2} \geq 0, \Rightarrow t-2=0, t=2. Так как t=2, имеем, что 4x^2=4x-1, \Rightarrow 2x-1=0, x=y=z=0,5.
Стоит отметить, что 3>1, поэтому неравенство 3^{\sqrt{t-2}} \leq 3^{0}, \Rightarrow \sqrt{t-2} \leq 0 верно
Пере-формулируем: \sqrt{4x-1}=a;\sqrt{4y-1}=b;\sqrt{4z-1}=c\rightarrow a+b+c\geq 2+3^\sqrt {t-2} ; \dfrac{a^2+1}{4}+\dfrac{b^2+1}{4}+\dfrac{c^2+1}{4}=1.5\rightarrow a^2+b^2+c^2=3
Отсюда следует, по неравенству КБШ: 3=\sqrt{(1+1+1)(a^2+b^2+c^2)}\geq a+b+c\geq 2+3^\sqrt{t-2}\geq 2+3^0=3. Учитывая, что \sqrt{t-2}\geq 0. Отсюда следует, что a+b+c=3 \rightarrow a=b=c=1, так как если равенство в кбш достигается то либо один из наборов нулевой либо 2 набора чисел пропорциональны.
\rightarrow x=y=z=1/4,t=2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.