Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс

В остроугольном треугольнике точки $D$ и $E$ являются основаниями высот, опущенных из вершин $A$ и $B$ соответственно, $AC > BC$ и $AB = 2DE$. Обозначим через $O$ и $I$ соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Найдите угол $\angle AIO$.

Комментарий/решение

Если $AB=2DE$ и $D,E$ основания высот , тогда $\cos \angle BCA = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{1}{2}$ , откуда $\angle BCA = 60^{\circ}$ . По условию $AC>BC$ значит угол $AIO<90^{\circ}$ то есть он острый. $\angle AIB = 180^{\circ} - \dfrac{ \angle BAC + \angle ABC}{2} = 120^{\circ}$ и $ \angle AOB = 2\angle BCA = 120^{\circ}$ . Значит точки $A,I,O,B$ лежат на одной окружности , откуда $\angle AIO = \angle ABO = \dfrac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} $ .