Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс


В остроугольном треугольнике точки D и E являются основаниями высот, опущенных из вершин A и B соответственно, AC>BC и AB=2DE. Обозначим через O и I соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Найдите угол AIO.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4 | проверено модератором
8 года 6 месяца назад #

Если AB=2DE и D,E основания высот , тогда cosBCA=DEAB=12 , откуда BCA=60 . По условию AC>BC значит угол AIO<90 то есть он острый. AIB=180BAC+ABC2=120 и AOB=2BCA=120 . Значит точки A,I,O,B лежат на одной окружности , откуда AIO=ABO=1801202=30 .