Республиканская олимпиада по математике, 2003 год, 9 класс
В остроугольном треугольнике точки D и E являются основаниями высот, опущенных из вершин A и B соответственно, AC>BC и AB=2DE. Обозначим через O и I соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника. Найдите угол ∠AIO.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Если AB=2DE и D,E основания высот , тогда cos∠BCA=DEAB=12 , откуда ∠BCA=60∘ . По условию AC>BC значит угол AIO<90∘ то есть он острый. ∠AIB=180∘−∠BAC+∠ABC2=120∘ и ∠AOB=2∠BCA=120∘ . Значит точки A,I,O,B лежат на одной окружности , откуда ∠AIO=∠ABO=180∘−120∘2=30∘ .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.