Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 9 сынып

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $A$ және $B$ төбелерінен түсірілген биіктітердің табаны сәйкес $D$ және $E$ деп белгіленген, $AC > AB$ және $AB=2DE$. Үшбұрышқа сырттай және іштей сызылған шеңберлердің центрлерін сәйкесінше $O$ және $I$ деп белгілейік. $AIO$ бұрышын табыңыз.

Комментарий/решение

Если $AB=2DE$ и $D,E$ основания высот , тогда $\cos \angle BCA = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{1}{2}$ , откуда $\angle BCA = 60^{\circ}$ . По условию $AC>BC$ значит угол $AIO<90^{\circ}$ то есть он острый. $\angle AIB = 180^{\circ} - \dfrac{ \angle BAC + \angle ABC}{2} = 120^{\circ}$ и $ \angle AOB = 2\angle BCA = 120^{\circ}$ . Значит точки $A,I,O,B$ лежат на одной окружности , откуда $\angle AIO = \angle ABO = \dfrac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} $ .