Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Задача №1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел

$n$ таких, что

$2^n+3^n$ делится на

$n$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Функция

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , удовлетворяет следующим условиям:
а)

$|f(a)-f(b)|\leq |a-b|$ , для любых

$a,b\in \mathbb{R}$ ;
б)

$f(f(f(0)))=0$ .
Докажите, что

$f(0)=0$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В окружность с центром

$O$ вписан четырехугольник

$ABCD$ , отличный от трапеции. Пусть

$M$ — точка пересечения диагоналей,

$K$ — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников

$BMC$ и

$DMA$ ,

$L$ — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников

$AMB$ и

$CMD$ , где

$K$ ,

$L$ и

$M$ различные точки. Докажите, что вокруг четырехугольника

$OLMK$ можно описать окружность.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что для любых положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ , удовлетворяющих условию

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ , справедливо неравенство

$\frac{{a^2 + bc}}{{a + b}} + \frac{{b^2 + ca}}{{b + c}} + \frac{{c^2 + ab}}{{c + a}}\geq 9.$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите все такие многочлены

$p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_0$ (

$a_0\neq 0$ ) с целыми коэффициентами, что для всех

$i=0, 1, \ldots, n-1$ выполняется

$p(a_i)=0$ , более того

$p(x)=(x-a_0)(x-a_1) \ldots (x-a_{n-1})$ .
комментарий/решение

Задача №6. Пусть на прямой

$AC$ треугольника

$ABC$ фиксируется точка

$M$ , отличная от середины

$AC$ . Для любой точки

$K$ прямой

$BM$ , отличной от

$B$ и

$M$ строится прямая

$LN$ такая, что

$L$ является точкой пересечения

$AK$ и

$BC$ , а

$N$ является точкой пересечения

$CK$ и

$AB$ . Докажите, что все такие прямые

$LN$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Каждая внутренняя точка равностороннего треугольника, стороны которого равны 1, лежит в одной из шести окружностей одинакового радиуса

$r$ . Доказать, что

$r\geq \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}$ .
комментарий/решение

Задача №8. Чемпионат среди

$n$ футбольных команд организован так, что любые две команды встречаются между собой ровно один раз. Каждый матч проходит в воскресный день, и каждая команда играет не более одного раза в день. Какое наименьшее количество воскресных дней понадобится, чтобы завершить чемпионат?
комментарий/решение