қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс
Задача №1. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что $2^n+3^n$ делится на $n$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Функция $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяет следующим условиям:
а) $|f(a)-f(b)|\leq |a-b|$ , для любых $a,b\in \mathbb{R} $;
б) $f(f(f(0)))=0$.
Докажите, что $f(0)=0$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. В окружность с центром $O$ вписан четырехугольник $ABCD$, отличный от трапеции. Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей, $K$ — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $BMC$ и $DMA$, $L$ — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $AMB$ и $CMD$, где $K$, $L$ и $M$ различные точки. Докажите, что вокруг четырехугольника $OLMK$ можно описать окружность.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что для любых положительных действительных чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих условию $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$, справедливо неравенство
$$
\frac{{a^2 + bc}}{{a + b}} + \frac{{b^2 + ca}}{{b + c}} + \frac{{c^2 + ab}}{{c + a}}\geq 9.
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все такие многочлены $p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_0$ ($a_0\neq 0$) с целыми коэффициентами, что для всех $i=0, 1, \ldots, n-1$ выполняется $p(a_i)=0$, более того $p(x)=(x-a_0)(x-a_1) \ldots (x-a_{n-1})$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Пусть на прямой $AC$ треугольника $ABC$ фиксируется точка $M$, отличная от середины $AC$. Для любой точки $K$ прямой $BM$, отличной от $B$ и $M$ строится прямая $LN$ такая, что $L$ является точкой пересечения $AK$ и $BC$, а $N$ является точкой пересечения $CK$ и $AB$. Докажите, что все такие прямые $LN$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Каждая внутренняя точка равностороннего треугольника, стороны которого равны 1, лежит в одной из шести окружностей одинакового радиуса $r$. Доказать, что $r\geq \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Чемпионат среди $n$ футбольных команд организован так, что любые две команды встречаются между собой ровно один раз. Каждый матч проходит в воскресный день, и каждая команда играет не более одного раза в день. Какое наименьшее количество воскресных дней понадобится, чтобы завершить чемпионат?
комментарий/решение
комментарий/решение