Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Пусть на прямой $AC$ треугольника $ABC$ фиксируется точка $M$, отличная от середины $AC$. Для любой точки $K$ прямой $BM$, отличной от $B$ и $M$ строится прямая $LN$ такая, что $L$ является точкой пересечения $AK$ и $BC$, а $N$ является точкой пересечения $CK$ и $AB$. Докажите, что все такие прямые $LN$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

$E = LN \cap AC$.

$A,C,E,M$ - гармоническая четверка точек, тогда получаем $(A, C; E, M) = -1$, то есть $\frac{AE*CM}{CE*AM} = -1$, $\frac{CM}{AM} = const_1$, то есть $\frac{AE}{CE} = const_2$, а значит все прямые $LN$ проходят через одну точку на прямой $AC$.