Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрыштағы $AC$ түзуінің бойында $M$ нүктесі бекітілген және $M$ нүктесі $AC$ қабырғасының ортасынан өзгеше. $BM$ түзудің бойындағы $B$ және $M$ нүктелерінен өзгеше, кез келген $K$ нүктесі үшін, $L$ — $AK$ және $BC$ түзулерінің қиылысу нүктесі, ал $N$—$CK$ және $AB$ түзулерінің қиылысу нүктесі болатындай $LN$ түзуі салынған. Осындай барлық $LN$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

$E = LN \cap AC$.

$A,C,E,M$ - гармоническая четверка точек, тогда получаем $(A, C; E, M) = -1$, то есть $\frac{AE*CM}{CE*AM} = -1$, $\frac{CM}{AM} = const_1$, то есть $\frac{AE}{CE} = const_2$, а значит все прямые $LN$ проходят через одну точку на прямой $AC$.