Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Докажите, что для любых положительных действительных чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих условию $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$, справедливо неравенство $$\frac{{a^2 + bc}}{{a + b}} + \frac{{b^2 + ca}}{{b + c}} + \frac{{c^2 + ab}}{{c + a}}\geq 9.$$

Комментарий/решение

$$\frac{a^2+bc}{a+b}+\frac{b^2+ca}{b+c}+\frac{c^2+ab}{c+a}=$$

$$=\frac{a^2-b^2+b^2+bc}{a+b}+\frac{b^2-c^2+c^2+ac}{b+c}+\frac{c^2-a^2+a^2+ab}{c+a}=$$

$$=a-b+\frac{b^2+bc}{a+b}+b-c +\frac{c^2+ac}{b+c}+c-a+\frac{a^2+ab}{c+a}=$$

$$=\frac{b^2+bc}{a+b}+\frac{c^2+ac}{b+c}+\frac{a^2+ab}{c+a}=$$

$$=\frac{b(b+c)}{a+b}+\frac{c(a+c)}{b+c}+\frac{a(a+b)}{c+a}\geq$$

$$\geq 3 \sqrt [3]{\frac{b(b+c)}{a+b}\cdot\frac{c(a+c)}{b+c}\cdot\frac{a(a+b)}{c+a}}=$$

$$=3\sqrt[3]{abc}\geq \frac{9}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=9$$