қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №1. ${{2}^{n}}+{{3}^{n}}$ саны $n$-ге бөлінетіндей шексіз көп натурал $n$ сандар табылатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. Келесі шарттарды қанағаттандыратын $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы берілген:
а) кез келген $a,b\in \mathbb{R}$ үшін $\left| f(a)-f(b) \right|\le \left| a-b \right|$;
б) $f(f(f(0)))=0$.
$f(0)=0$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
а) кез келген $a,b\in \mathbb{R}$ үшін $\left| f(a)-f(b) \right|\le \left| a-b \right|$;
б) $f(f(f(0)))=0$.
$f(0)=0$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Центрі $O$ нүктеде болатын шеңберге трапециядан өзгеше $ABCD$ төртбүрьішы іштей сызылған. $M$— диагоналдардың қиылысу нүктесі, $K$ — $BMC$ және $DMA$ үшбұрыштарға сырттай сызылған шеңберлердің қиылысу нүктесі, $L$ — $AMB$ және $CDM$ үшбүрыштарға сырттай сызылған шеңберлердің қиылысу нүктесі болсын, мұндағы $K$, $L$ және $M$ әр түрлі нүктелер. $OLMK$ төртбүрышқа сырттай шеңбер сызуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$ теңдігін қанағаттандыратын теріс емес нақты $a$, $b$ және $c$ сандары берілген. $\dfrac{{{a}^{2}}+bc}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}+ca}{b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}+ab}{c+a}\ge 9$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Коэффициенттері бүтін және кез келген $i=0,1,\ldots ,n-1$ үшін $p({{a}_{i}})=0$ және $p(x)=\left( x-{{a}_{0}} \right)\left( x-{{a}_{1}} \right)\ldots \left( x-{{a}_{n-1}} \right)$ шарттарын қанағаттандыратын барлық $p(x)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+\ldots +{{a}_{0}}$, (${{a}_{0}}\ne 0$) көпмүшеліктерін табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $ABC$ үшбұрыштағы $AC$ түзуінің бойында $M$ нүктесі бекітілген және $M$ нүктесі $AC$ қабырғасының ортасынан өзгеше. $BM$ түзудің бойындағы $B$ және $M$ нүктелерінен өзгеше, кез келген $K$ нүктесі үшін, $L$ — $AK$ және $BC$ түзулерінің қиылысу нүктесі, ал $N$—$CK$ және $AB$ түзулерінің қиылысу нүктесі болатындай $LN$ түзуі салынған. Осындай барлық $LN$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Қабырғалары 1-ге тең, тең қабырғалы үшбұрыштың кез келген нүктесі радиустары бірдей $r$-ге тең, алты шеңбердің біреуінің ішінде жатыр. $r\ge \dfrac{\sqrt{3}}{10}$ екенін дәлелдендер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $n$ футбол командаларының арасында жарыс ұйымдастырылған. Кез келген екі команда бір-бірімен тек қана бір рет ойнайды. Әр ойын жексенбі күні өткізіледі және бір күнде әр команда бір реттен көп ойнамайды. Жарысты аяқтау үшін, кем дегенде қанша жексенбі күндерінің саны керек?
комментарий/решение
комментарий/решение