Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс


Функция f:RR, удовлетворяет следующим условиям:
а) |f(a)f(b)||ab| , для любых a,bR;
б) f(f(f(0)))=0.
Докажите, что f(0)=0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
5 года 9 месяца назад #

Пусть f(0)=a. Тогда |f(a)|=|f(f(a))f(a)||f(a)a||a0|=|af(f(a))||0f(a)|=|f(a)|

Но это выполняется тогда, когда все знаки неравенства поменяются на знаки равенства. Тогда |f(a)|=|f(a)a|=|a| или |a|=0.