Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс

Функция $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяет следующим условиям:
а) $|f(a)-f(b)|\leq |a-b|$ , для любых $a,b\in \mathbb{R} $;
б) $f(f(f(0)))=0$.
Докажите, что $f(0)=0$.

Комментарий/решение

Пусть $f(0)=a$. Тогда $|f(a)|=|f(f(a))-f(a)|\leq|f(a)-a|\leq|a-0|=|a-f(f(a))|\leq|0-f(a)|=|f(a)|$

Но это выполняется тогда, когда все знаки неравенства поменяются на знаки равенства. Тогда $|f(a)|=|f(a)-a|=|a|$ или $|a|=0$.